Відкрити головне меню

Теорема про розподіл простих чисел

Теорема про розподіл простих чисел — теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як , тобто

Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна .

Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки -го простого числа : вона стверджує, що

(тут і далі запис означає ).

ІсторіяРедагувати

Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція   може бути наближена виразом  , де   — константа, близька до  . Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм  , проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій   і  , вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.

У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишев доводить[1], що верхня M і нижня m границі відношення

 

задовільняють нерівності  , а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.

У 1859 році з'являється робота Рімана, що розглядає (введену Ейлером як функцію дійсного аргумента)  -функцію в комплексній області, і що пов'язує її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно доводять теорему про розподіл простих чисел.

Нарешті, в 1949 році з'являється доведення Ердеша-Сельберга, що не використовує понять комплексного аналізу.

Загальний хід доказуРедагувати

Переформулювання в термінах псі-функції ЧебишеваРедагувати

Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишева, що визначається як

 

іншими словами, псі-функція Чебишева це сума функції фон Мангольдта:

 

А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що

 

Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка  , а внесок квадратів, кубів, і т. д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми   приблизно рівні  , і функція   асимптотично рівна  .

Класичні міркування: перехід до дзета-функції РіманаРедагувати

Як випливає з тотожності Ейлера

 

ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:

 

Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції   рівний   при   і 0 при  . Тому, множення правої і лівої частини на   і інтегрування по вертикальній прямій по   залишає в лівій частині суму   з  . З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю функції дзети відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, з лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці   — полюс першого порядку з лишком, рівним  .

Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати[2] явну формулу Рімана[3]:

 

де сума обчислюється по нулях   дзета-функції, що лежать в смузі  , доданок   відповідає полюсу   у нулі, а доданок   — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції  .

Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність   (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).

Елементарне доведення: завершення Ердеша-СельбергаРедагувати

Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як

 

таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як

 

де   і   — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.

Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести   у праву частину:

 

де   — функція Мебіуса.

Сума лівої частини (**) — шукана функція  . У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми   де   — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати   як

 

де   — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд   для відповідним чином підібраної функції F (а саме  ), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса

 

Оскільки   залишається перевірити, що другий доданок має вигляд  . Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження   де   — сума функції Мебіуса.

Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції  .

Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку

 

де   — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку

 

Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції   оцінюється краще, ніж асимптотика сум  , дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку  .

ПриміткиРедагувати

  1. Н. І. Ахієзер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие».
  2. http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf
  3. {MathWorld|urlname=ExplicitFormula|title=Explicit Formula}

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Zagier, Don (1997). Newman's short proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly 104 (8): 705–708. JSTOR 2975232. doi:10.2307/2975232.  (англ.)
  • Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction   et ses conséquences arithmétiques. [1], Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220.
  • Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
  • П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848
  • П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850
  • Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
  • Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
  • А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87