Ізотомічне спряження

У планіметрії ізотомічним спряженням називають одне з перетворень площини, що породжується заданим на площині трикутником $ABC$.

Визначення

Нехай дано трикутник $ABC$, у якого $A_{0}$ — середина сторони $BC$, $B_{0}$ — середина $AC$ і $C_{0}$ — середина сторони $AB$. Нехай також на площині вибрано довільну точку $P$, яка не лежить на прямих, що містять його сторони. Тоді розглянемо прямі $AP$, $BP$ і $CP$. Нехай вони перетинають прямі, що містять протилежні сторони трикутника, відповідно в точках $A_{1}$, $B_{1}$ і $C_{1}$ (якщо прямі виявляться паралельними, точкою перетину вважається нескінченно віддалена точка прямої). Згідно з теоремою Чеви, ${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1$. Якщо тепер точки $A_{1}$, $B_{1}$ і $C_{1}$ симетрично відбити відносно $A_{0}$, $B_{0}$ і $C_{0}$ відповідно, вийдуть точки $A_{2}$, $B_{2}$ і $C_{2}$ (нескінченно віддалена точка переходить сама в себе). Оскільки $AC_{1}=BC_{2}$, $AC_{2}=BC_{1}$ і так само для інших пар точок, отримуємо $1={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}={\frac {BC_{2}}{C_{2}A}}\cdot {\frac {CA_{2}}{A_{2}B}}\cdot {\frac {AB_{2}}{B_{2}C}}$ і, згідно з тією ж теоремою Чеви, прямі $AA_{2}$, $BB_{2}$ і $CC_{2}$ перетинаються в одній точці $P'$. Ця точка називається ізотомічно спряженою точці $P$ відносно трикутника $ABC$.

Ізотомічне спряження встановлює взаємно-однозначну відповідність між точками площини з виключеними прямими $AB$, $BC$ і $AC$. На цих прямих відповідність не є взаємно-однозначною, так будь-якій точці прямої $BC$ відповідає вершина $A$ (і навпаки, вершині $A$ — будь-яка точка $BC$) тощо.

Координати

Якщо барицентричні координати точки $P$ дорівнюють $(p:q:r)$, то барицентричні координати ізотомічно спряженої їй точки $P'$ дорівнюють $\left({\frac {1}{p}}:{\frac {1}{q}}:{\frac {1}{r}}\right)$.

Якщо трилінійні координати точки $P$ дорівнюють $(p:q:r)$, То трилінійні координати ізотомічно спряженої їй точки $P'$ дорівнюють $\left({\frac {1}{a^{2}p}}:{\frac {1}{b^{2}q}}:{\frac {1}{c^{2}r}}\right)$.

Інше визначення

Якщо замість симетричної чевіани взяти чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа початкової, то такі чевіани також перетнуться в одній точці. Отримане перетворення називають ізотомічним спряженням. Воно також переводить прямі в описані коніки. Під час афінних перетворень ізотомічно спряжені точки переходять в ізотомічно спряжені. За ізотомічного спряження в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.

Властивості

• Ізотомічне спряження є симетрією, тобто його квадрат тривіальний.
• Нерухомими точками (тобто такими, що переходять самі в себе) ізотомічного спряження є центроїд (інші назви: барицентр або центр мас, тобто точка перетину медіан) трикутника $ABC$ і точки, симетричні вершинам трикутника відносно середин протилежних сторін.
• Точки Жергонна і Наґеля ізотомічно спряжені.
• Точці Лемуана (точці перетину симедіан) трикутника ізотомічно спряжена його точка Брокара.
• Точці перетину бісектрис (інцентру) ізотомічно спряжена точка перетину антибісектрис.
• Прямі загального положення відносно трикутника за ізотомічного спряження переходять в описані навколо нього коніки, і навпаки.

Див. також

• Ізогональне спряження

Посилання

• А. Г. Мякішев «Елементи геометрії трикутника», М., МЦНМО, 2002 [Архівовано 27 грудня 2021 у Wayback Machine.]
• Е. [Архівовано 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] А. [Архівовано 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] Куланін, А. [Архівовано 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] Г. [Архівовано 30 серпня 2021 у Wayback Machine.] Мякішев «Про деякі кониках, пов'язаних з трикутником» [Архівовано 30 серпня 2021 у Wayback Machine.]