Еліпс Штейнера

еліпс, дотичний до сторін трикутника в їх серединах

Існує єдине афінне перетворення, яке переводить правильний трикутник у даний трикутник. Образ вписаного кола правильного трикутника при такому перетворенні є еліпсом, який називають вписаним еліпсом Штейнера, а образ описаного кола також є еліпсом, який називають описаним еліпсом Штейнера.[1]

Вписаний і описаний еліпси Штейнера для трикутника. Показані червоним кольором

Визначення вписаного еліпса Штейнера ред.

  • У трикутник можна вписати нескінченно багато еліпсів.
  • Однак у трикутник можна вписати єдиний еліпс, який дотикається до сторін в їх серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера. Його перспектором буде центроїд трикутника.
  • Визначення перспектора коніки (включно з конікою-еліпсом) див. нижче.

Визначення описаного еліпса Штейнера ред.

  • Навколо трикутника можна описати нескінченно багато еліпсів.
  • Однак навколо трикутника можна описати єдиний еліпс, який дотикається до прямих, що проходять через вершини і паралельні сторонам. Такий еліпс називають описаним еліпсом Штейнера.
  • Фокуси описаного еліпса Штейнера називають точками Скутіна.
  • Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнера (точки Скутіна), рівні (теорема Скутина).

Афінне перетворення еліпса Штейнера ред.

Якщо афінним перетворенням («перекосом») перевести довільний різнобічний трикутник у правильний трикутник, то його вписаний і описаний еліпси Штейнера перейдуть у вписане й описане кола.

Визначення перспектив коніки ред.

  • У трикутник можна вписати нескінченно багато конік (еліпсів, парабол або гіпербол).
  • Якщо в трикутник вписати довільну конку і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то отримані прямі перетнуться в одній точці, званій перспектором коніки.
  • Для будь-якої точки площини, що не лежить на стороні або на її продовженні існує вписана коніка з перспектором у цій точці.

Властивості ред.

  • Вписаний еліпс Штейнера має найбільшу площу серед усіх еліпсів, вписаних у даний трикутник, а описаний — найменшу серед усіх описаних.
  • Вписаний еліпс Штейнера - еліпс, вписаний у трикутник, який дотикається до середин його сторін.
 
Властивості вписаної параболи
 
Парабола Кіперта
  • (Теорема Мардена) фокуси вписаного еліпса Штейнера є екстремальними точками многочлена третього степеня з коренями у вершинах трикутника на комплексній площині.
  • Перспектори вписаних у трикутник парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Параболу, вписану в трикутник, що має директрисою пряму Ейлера, називають параболою Кіперта. Її перспектор — четверта точка перетину описаного кола і описаного еліпса Штейнера, називана точкою Штейнера.

Примітки ред.

  1. Weisstein, E. «Steiner Inellipse» — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html [Архівовано 7 серпня 2021 у Wayback Machine.].

Див. також ред.