Ізопериметрична точка
У геометрії ізопериметрична точка — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Термін був спочатку введений Г. Р. Вельдкампом у статті, опублікованій в American Mathematical Monthly в 1985 році, для позначення точки P у площині трикутника ABC, яка має властивість, що трикутники PBC, PCA і PAB мають рівні периметри, тобто[1][2]
- PB + BC + CP = PC + CA + AP = PA + AB + BP.
Ізопериметричні точки в розумінні Вельдкампа існують лише для трикутників, які задовольняють певним умовам. Ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, якщо вона існує, має такі трилінійні координати:[3]
- (sec (A/2) cos (B/2) cos (C/2) − 1 , sec (B/2) cos (C/2) cos (A/2) − 1 , sec (C/2) cos (A/2) cos (B/2) − 1)
Для будь-якого трикутника ABC можна пов'язати з ним точку P, що має трилінійні координати, як зазначено вище. Ця точка є чудовою точкою трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга (ETC) вона називається ізопериметричною точкою трикутника ABC. Її позначають як центр трикутника X(175).[4] Точка X(175) не обов'язково є ізопериметричною точкою трикутника ABC у сенсі Вельдкампа. Проте, якщо існує ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, то вона буде тотожною точці X(175). Точка P з властивістю трикутників PBC, PCA і PAB мати рівні периметри була досліджена ще в 1890 році в статті Еміля Лемуана.[4][5]
Існування ізопериметричної точки в розумінні Вельдкампа ред.
Нехай ABC — довільний трикутник, довжини його сторін дорівнюють a, b і c, радіус описаного кола дорівнює R, а радіус вписаного кола — r. Необхідну і достатню умову існування ізопериметричної точки в розумінні Вельдкампа можна сформулювати так.[1]
- Трикутник ABC має ізопериметричну точку в розумінні Вельдкампа тоді і тільки тоді, коли a + b + c > 4R + r .
Для всіх гострокутних трикутників ABC маємо a + b + c > 4R + r, тому всі гострокутні трикутники мають ізопериметричну точку в розумінні Вельдкампа.
Властивості ред.
Нехай P — чудова точка трикутника X(175) трикутника ABC.[4] Тоді:
- P лежить на прямій, що з'єднує центр вписаного кола і точку Жергона трикутника ABC.
- Якщо P — ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, то зовнівписані кола трикутників PBC, PCA, PAB попарно дотикаються одна до одної, а P — їхній радикальний центр.
- Якщо P — ізопериметрична точка трикутника ABC у розумінні Вельдкампа, то периметри трикутників PBC, PCA, PAB дорівнюють 2 Δ / |4 R + r — (a + b + c)|, де Δ — площа, R — радіус описаного кола, r — радіус вписаного кола, a, b, c — довжини сторін трикутника ABC.[6]
Кола Содді ред.
Для даного трикутника ABC можна накреслити кола в площині трикутника ABC з центрами в точках A, B і C так, щоб вони дотикалися один до одного зовні. Загалом, можна намалювати два нових кола, кожне з яких буде дотичним до трьох кіл з центрами A, B, C. (Одне з кіл може виродитися в пряму лінію.) Ці кола називають колами Содді трикутника ABC. Коло з меншим радіусом є внутрішнім колом Содді, а його центр називається внутрішньою точкою Содді або внутрішнім центром Содді трикутника ABC. Коло з більшим радіусом є зовнішнім колом Содді, а його центр називається зовнішньою точкою Содді або зовнішнім центром Содді трикутника ABC.[6][7] Чудова точка трикутника X(175), ізопериметрична точка в розумінні Кімберлінга, є зовнішньою точкою Содді трикутника ABC.
Примітки ред.
- ↑ а б G. R. Veldkamp (1985). The isoperimetric point and the point(s) of equal detour. Amer. Math. Monthly. 92 (8): 546—558. doi:10.2307/2323159. JSTOR 2323159.
- ↑ Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter (2007). The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle. Journal of Geometry. 87 (1–2): 76—82. doi:10.1007/s00022-007-1906-y.
- ↑ Kimberling, Clark. Isoperimetric Point and Equal Detour Point. Архів оригіналу за 10 травня 2012. Процитовано 27 травня 2012.
- ↑ а б в Kimberling, Clark. X(175) Isoperimetric Point. Архів оригіналу за 19 April 2012. Процитовано 27 травня 2012.
- ↑ The article by Emile Lemoine can be accessed in Gallica. The paper begins at page 111 and the point is discussed in page 126.Gallica [Архівовано 28 грудня 2021 у Wayback Machine.]
- ↑ а б Nikolaos Dergiades (2007). The Soddy Circles (PDF). Forum Geometricorum. 7: 191—197. Архів оригіналу (PDF) за 14 червня 2010. Процитовано 29 травня 2012.
- ↑ Soddy Circles. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 29 травня 2012.
Посилання ред.
- isoperimetric and equal detour points [Архівовано 28 грудня 2021 у Wayback Machine.] — інтерактивна ілюстрація на Geogebratube