Єгипетський дріб
Єгипетський дріб — в математиці сума різних одиничних дробів типу , наприклад . Так що кожен дріб є виразом в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник — додатне ціле число, причому так, що знаменники всі різні. Сума виразу такого типу — це додатне раціональне число a/b; наприклад сума вищенаведеного єгипетського дробу — 43/48. Кожне додатне раціональне число може бути представлене у вигляді єгипетського дробу. Суми такого типу та подібні їм з доданками 2/3 і 3/4 використовували стародавні єгипетські математики для запису раціональних чисел, їх продовжували використовувати і пізніші цивілізації аж до середніх віків. Звичайні дроби та десяткові дроби з часом витіснили єгипетські дроби зі вжитку. Все ж єгипетські дроби залишаються об'єктом досліджень сучасної теорії чисел та розважальної математики, а також в історичних студіях стародавньої математики.
Історія
ред.Стародавній Єгипет
ред.- Додаткову інформацію за даним питанням див. в Єгипетська система числення.
Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дроби є математичний папірус Рінда. Три більш давніх тексти, в яких згадуються єгипетські дроби — це Єгипетський математичний шкіряний сувій, московський математичний папірус і дерев'яна табличка Ахмім. Папірус Рінда був написаний писарем Ахмесом в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2/ n , а також 84 математичні задачі, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.
Єгиптяни ставили ієрогліф
|
(ер, «[один] з» або ре, рот) над числом для позначення одиничного дробу в звичайному записі, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:
|
|
У них також були спеціальні символи для дробів 1/2, 2/3 і 3/4, якими можна було записувати також інші дроби (більші за 1/2).
|
|
|
Єгиптяни також використовували і інші форми запису, основані на ієрогліфі Око Гора для представлення спеціального набору дробів виду 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), тобто, двоелементних раціональних чисел. Такі дроби використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат (~ 4,785 л), основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Цей комбінований запис також використовувався для вимірювання об'єму зерна, хліб а та пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Ока Гору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, рівний 1/320 Хекат.
Наприклад, так:
|
При цьому "рот " містився перед усіма ієрогліфами.
Античність і Середньовіччя
ред.Єгипетські дроби продовжували використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до Середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонською системою. Важливу роботу в дослідженні єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі у своїй праці «Liber Abaci».
Основна тема «Liber Abaci» — обчислення, що використовують десяткові і звичайні дроби, що витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складний запис дробів, що включав запис чисел зі змішаною підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.
Алгоритм Фібоначчі
ред.Перший метод розкладання довільного дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасному записі його алгоритм можна викласти таким чином.
1. Дріб розкладається на 2 доданки:
Тут — частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а — (додатня) остача від ділення -n на m.
2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетського дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідного дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.
Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає розкладання, яке шукали. Приклад:
Але отримане таким методом розкладання може виявитися не найкоротшим. Приклад його невдалого застосування:
в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:
Розклад Енгеля
ред.Розклад Енгеля є ще одним методом представлення чисел у вигляді єгипетського дробу. Існує кілька алгоритмів виконання такого розкладу.
Сучасна теорія чисел
ред.Сучасні математики продовжують досліджувати ряд задач, пов'язаних з єгипетськими дробом.
- В кінці минулого століття було дано оцінки максимального знаменника і довжини розкладання довільного дробу в єгипетські. Дріб x/y має розкладання в єгипетські дроби з максимальним знаменником не більше
і з числом доданків не більше:
- Гіпотеза Ердеша - Грехема[en] стверджує, що для всякої розмальовки цілих чисел більших 1 в r > 0 кольорів існує кінцеве однокольорове підмножина S цілих чисел, таких, що
Ця гіпотеза доведена Ернестом Крутом[en] в 2003 році.
Відкриті проблеми
ред.Єгипетські дроби ставлять ряд важких і донині невирішених математичних проблем.
- Гіпотеза Ердеша - Страуса[en] стверджує, що для будь-якого цілого числа n ≥ 2, існують додатні цілі x, y і z такі, що
- Комп'ютерні експерименти показують, що гіпотеза вірна для всіх n ≤ 1014, але доказ поки не знайдено. Узагальнення цієї гіпотези стверджує, що для будь-якого додатного k існує N таке, що для всіх n ≥ N існує розкладання
- Ця гіпотеза належить Анджею Шинцелю[en].
Література
ред.- Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. [Архівовано 27 березня 2009 у Wayback Machine.] Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
- Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
- Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
- Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
- Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
- Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
- Beeckmans, L. (1993). The splitting algorythm for Egyptian fractions. Journal of Number Theory. 43: 173—185.
- Botts, Truman (1967). A chain reaction process in number theory. Mathematics Magazine: 55—65.
- Breusch, R. (1954). A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512. American Mathematical Monthly. 61: 200—201.
- Bruins, Evert M. (1957). Platon et la tabl égyptienne 2/n. Janus. 46: 253—263.
- Eves, Howard (1953). An Introduction to the History of Mathematics,. Holt, Reinhard, and Winston. 0-03-029558-0.
- Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. ISBN 0-486-24315-X.
- Graham, R. L. (1964). On finite sums of reciprocals of distinct nth powers (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 14 (1): 85—92. Архів оригіналу (PDF) за 22 листопада 2009. Процитовано 28 травня 2014.
- Hultsch, Friedrich (1895). Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. Leipzig: S. Hirzel.
- Knorr, Wilbur R. (1982). Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece. Historia Mathematica. 9: 133—171.
- Lüneburg, Heinz (1993). Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag. ISBN 3-411-15461-6.
- Martin, G. (1999). Dense Egyptian fractions. Transactions of the American Mathematical Society. 351: 3641—3657.
- Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8.
- Robins, Gay; Shute, Charles (1990). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. Dover. ISBN 0-486-26407-6.
- Stewart, B. M. (1954). Sums of distinct divisors. American Journal of Mathematics. 76: 779—785.
- Stewart, I. (1992). The riddle of the vanishing camel. Scientific American (June): 122—124.
- Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover. с. 20–25. ISBN 0-486-60255-9.
- Takenouchi, T. (1921). On an indeterminate equation. Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78—92.
- Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). Length and denominators of Egyptian fractions. Journal of Number Theory. 35: 150—156.
- Vose, M. (1985). Egyptian fractions. Bulletin of the London Mathematical Society. 17: 21.
- Wagon, S. (1991). Mathematica in Action. W.H. Freeman. с. 271–277.
Посилання
ред.- Девід Эппштейн. Egyptian Fractions. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.
- Egyptian fractions. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.
- Mathematics in Egyptian Papyri. 2000. Архів оригіналу за 19 лютого 2012. Процитовано 28 травня 2014.