Розклад Енгеля

Розклад Енгеля додатного дійсного числа $x$ — єдина неспадна послідовність додатних натуральних чисел $\{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}$ таких, що

$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .$

Нариклад, константа Ейлера ${\rm {e}}$ має такий розклад Енгеля

$1,1,2,3,4,5,6,7,8,\dots ,$

що відповідає нескінченному ряду

${\rm {e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots .}}$

Раціональні числа мають скінченний розклад Енгеля, а ірраціональні числа — нескінченний розклад Енгеля. Якщо $x$ — раціональне, його розклад Енгеля забезпечує подання $x$ у вигляді єгипетського дробу. Енгельські розклади названі на честь Фрідріха Енгеля, який вивчав їх у 1913 році.

Розклад, аналогічний розкладу Енгеля, зі знакозмінними доданками називається розкладом Пірса.

Розклад Енгеля, неперервні дроби і Фібоначчі

Краайкамп і Ву помітили, що розклад Енгеля також може бути записаний як висхідний варіант ланцюгового(неперервного) дробу:

$x={\frac {1+{\dfrac {1+{\dfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.$

Вони стверджують, що висхідні неперервні дроби, подібні до цього, вивчав ще Фібоначчі в Книзі Абака (1202). Це твердження, мабуть, посилається на позначення складних дробів Фібоначчі, в яких послідовність чисельників і знаменників, що використовують одну спільну риску дробу, представляють висхідний неперервний дріб:

${\frac {abcd}{efgh}}={\frac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.$

Якщо в цьому позначенні всі чисельники рівні 0 або 1, як з'являється в деяких місцях у Книзі Абака, то результатом буде розклад Енгеля. Однак, схоже, розклад Енгеля, як загальна техніка, не описаний Фібоначчі.

Алгоритм для обчислення розкладів Енгеля

Щоб знайти розклад Енгеля для числа $x$, задамо

$u_{1}=x,$

$a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil ,$

і

$u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1,$

де $\lceil r\rceil$ — функція стелі (найменше ціле не менше $r$).

Якщо $u_{i}=0$ для деякого $i$, то зупиняємо алгоритм.

Ітераційні функції для обчислення розкладів Енгеля

Інший еквівалентний метод — розглянути функцію

$g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1$

і покласти

$u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}}\right\rfloor ,$

де

$g^{(n)}(x)=g{\big (}g^{(n-1)}(x){\big )}\qquad {\text{і}}\qquad g^{(0)}(x)=x.$

Ще один еквівалентний метод, який називається модифікованим розкладом Енгеля, — обчислення за допомогою функції

$h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor \left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +x-1\right)$

і

$u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\dfrac {1}{x}}\right\rfloor ,&n=1,\\\left\lfloor {\dfrac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right),&n\geq 2.\end{cases}}$

Оператор переміщення функції Енгеля

Оператор переміщення Фробеніуса–Перрона функції Енгеля $g(x)$ діє на функцію $f(x)$ наступним чином:

$\left[\iota _{g}f\right](x)=\sum _{y\colon g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\dfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}_{z}}}g(z)\right|_{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}},$

оскільки

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}_{x}}}(x(n+1)-1)=n+1,$

а інверсією n-ї компоненти є ${\frac {x+1}{n+1}}$, що знайдений розв'язанням $x(n+1)-1=y$ відносно $x$.

Зв'язок з функцією Рімана $\zeta$

Перетворення Мелліна функції $g(x)$ пов'язане з $\zeta$ — функцією Рімана за допомогою формули

$\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,{\rm {d}}x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}dx=$

$\qquad {}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}=$

$\qquad {}={\frac {\zeta (s)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}.$

Приклад

Для знаходження розкладу Енгеля для числа $1{,}175$ виконаємо наступні кроки:

$u_{1}=1{,}175,\qquad a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;$

$u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0{,}175,\qquad a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}175}}\right\rceil =6;$

$u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,\qquad a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}05}}\right\rceil =20;$

$u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0.$

Отже,

$1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}},$

а розклад Енгеля для числа $1{,}175$ має вигляд $\{1,6,20\}$.

Розклад Енгеля раціональних чисел

Кожне додатне раціональне число має унікальний скінченний розклад Енгеля. В алгоритмі розкладу Енгеля, якщо $u_{i}$ є раціональним числом $~{\frac {x}{y}}$, то

$u_{i+1}={\frac {(-y\mod x)}{y}}.$

Тому на кожному кроці чисельник u_i у дробі, що залишається, зменшується, а тому процес побудови розкладу Енгеля повинен закінчуватися. Кожне раціональне число також має єдиний нескінченний розклад Енгеля: з використанням тотожності

${\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}$

останнє число $n$ в скінченному розкладі Енгеля можна замінити нескінченною послідовністю чисел $(n+1)$ без зміни його значення. Наприклад,

$1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.$

Це аналогічно тому, що будь-яке раціональне число зі скінченним десятковим представленням також має нескінченне десяткове представлення (див. $0{,}999\dots$). Нескінченний розклад Енгеля з рівними доданками буде геометричним рядом.

Ердеш, Реній і Шуш поставили задачу про нетривіальні оцінки довжини скінченного розкладу Енгеля для раціонального числа ${\frac {x}{y}}$, яка була розв'язана Ердошем і Шаллітом: було доведено, що кількість доданків у розкладі є $O{\big (}y^{1/3+\varepsilon }{\big )}$ для будь-якого $\varepsilon >0$.

Розклад Енгеля для деяких відомих констант

$\pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS);

${\sqrt {2}}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS);

${\rm {e}}=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS).

І в загальному випадку,

${\rm {e}}^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}.$

Швидкість зростання елементів розкладу

Коефіцієнти $a_{i}$ розкладу Енгеля, як правило, демонструють експонентне зростання; точніше, для майже всіх чисел на проміжку $(0,1]$ границя $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n}$ існує і дорівнює ${\rm {e}}$. Однак, підмножина інтервалу для якого це не виконується є достатньо великою, щоб її розмірність Хаусдорфа дорівнювала одиниці.

Така сама типова швидкість зростання застосовується до членів в розкладі утвореному жадібним алгоритмом для єгипетських дробів. Однак множина дійсних чисел в інтервалі $(0,1]$ для яких розклади Енгеля збігаються з їх жадібними розкладами має міру нуля, а розмірність Хаусдорфа — $1/2$.

Джерела

• Engel, F. (1913), Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen, Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg, с. 190—191.
• Pierce, T. A. (1929), On an algorithm and its use in approximating roots of algebraic equations, American Mathematical Monthly, 36 (10): 523—525, doi:10.2307/2299963, JSTOR 2299963
• Erdős, Paul; Rényi, Alfréd; Szüsz, Peter (1958), On Engel's and Sylvester's series (PDF), Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., 1: 7—32, архів оригіналу (PDF) за 2 квітня 2012, процитовано 24 березня 2020.
• Erdős, Paul; Shallit, Jeffrey (1991), New bounds on the length of finite Pierce and Engel series, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 3 (1): 43—53, doi:10.5802/jtnb.41, MR 1116100.
• Paradis, J.; Viader, P.; Bibiloni, L. (1998), Approximation to quadratic irrationals and their Pierce expansions, Fibonacci Quarterly, 36 (2): 146—153, архів оригіналу за 14 травня 2013, процитовано 24 березня 2020
• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients, Monatshefte für Mathematik, 143 (4): 285—298, doi:10.1007/s00605-004-0246-3.
• Wu, Jun (2000), A problem of Galambos on Engel expansions, Acta Arithmetica, 92 (4): 383—386, doi:10.4064/aa-92-4-383-386, MR 1760244.
• Wu, Jun (2003), How many points have the same Engel and Sylvester expansions?, Journal of Number Theory, 103 (1): 16—26, doi:10.1016/S0022-314X(03)00017-9, MR 2008063.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Engel Expansion. MathWorld–A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 13 грудня 2015. Процитовано 24 березня 2020.