FIR-фільтр

Фільтр зі скінче́нною і́мпульсною характери́стикою (нерекурсивний фільтр, або FIR-фільтр (FIR скор. від англ. finite impulse response — скінченна імпульсна характеристика) — один з видів лінійних цифрових фільтрів, характерною особливістю якого є обмеженість за часом його імпульсної характеристики (з якогось моменту часу вона стає точно рівною нулю). Такий фільтр називають ще нерекурсивним через відсутність зворотного зв'язку. Знаменник передавальної функції такого фільтра — якась константа.

Динамічні характеристики

Різницеве ​​рівняння, що описує зв'язок між вхідним і вихідним сигналами фільтра: $y\left(n\right)=b_{0}x\left(n\right)+b_{1}x\left(n-1\right)+...+b_{P}x\left(n-P\right)$ де $P$ — порядок фільтра, $x(n)$ — вхідний сигнал, $y(n)$ — вихідний сигнал, а $b_{i}$ — коефіцієнти фільтра. Іншими словами, значення будь-якого відліку вихідного сигналу визначається сумою масштабованих значень $P$ попередніх відліків. Можна сказати інакше: значення виходу фільтра в будь-який момент часу є значення відгуку на миттєве значення входу і сума всіх поступово затухаючих відгуків $P$ попередніх відліків сигналу, які все ще чинять вплив на вихід (після $P$-відліків імпульсна перехідна функція стає рівною нулю, як уже було сказано, тому всі члени після $P$-го теж стануть рівними нулю). Запишемо попереднє рівняння в більш місткому вигляді:

$y\left(n\right)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x\left(n-i\right)$

Для того, щоб знайти ядро фільтра покладемо

$x(n)=\delta (n)$

де $\delta (n)$ — дельта-функція. Тоді імпульсна характеристика FIR-фільтра може бути записана як:

$h\left(n\right)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}\delta \left(n-i\right)$

Z-перетворення імпульсної характеристики дає нам передавальну функцію FIR-фільтра:

$H\left(z\right)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}$

Властивості

FIR-фільтр має ряд корисних властивостей, через які він іноді кращий у використанні, ніж IIR-фільтр. Ось деякі з них:

• FIR-фільтри стійкі
• FIR-фільтри при реалізації не вимагають наявності зворотного зв'язку
• Фаза FIR-фільтрів може бути зроблена лінійною