Ґамма/Ґомперц розподіл

У теорії ймовірності та статистиці, ґамма розподіл Ґомперца або розподіл ґамма/Ґомперц — це неперервний розподіл ймовірності. Його використовують для моделювання сукупної тривалости життя клієнтів та при моделюванні смертності.

Розподіл ґамма/Ґомперца
Щільність розподілу Note: b=0.4, β=3
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$b,s,\beta >0\,\!$
Носій функції	$x\in [0,\infty )\!$
Розподіл імовірностей	$bse^{bx}\beta ^{s}/\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}{\text{де }}b,s,\beta >0$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-\beta ^{s}/\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s},x>0,b,s,\beta >0$ $1-e^{-bsx},\beta =1$
Середнє	$=\left(1/b\right)\left(1/s\right){_{2}{\text{F}}_{1}}\left(s,1;s+1;\left(\beta -1\right)/\beta \right),$            $b,s>0,\beta \neq 1$ $=\left(1/b\right)\left[\beta /\left(\beta -1\right)\right]\ln \left(\beta \right),$            $b>0,s=1,\beta \neq 1$ $=1/\left(bs\right),\quad b,s>0,\beta =1$
Медіана	$\left(1/b\right)\ln\{\beta \left[\left(1/2\right)^{-1/s}-1\right]+1\}$
Мода	${\begin{aligned}x^{*}&=(1/b)\ln \left[(1/s)(\beta -1)\right],\\&{\text{при }}0<{\text{F}}(x^{*})<1-(\beta s)^{s}/\left[(\beta -1)(s+1)\right]^{s}<0.632121,\\&\beta >s+1\\&=0,\quad \beta \leq s+1\\\end{aligned}}$
Дисперсія	$=2(1/b^{2})(1/s^{2})\beta ^{s}{_{3}{\text{F}}_{2}}(s,s,s;s+1,s+1;1-\beta )$            $-{\text{E}}^{2}(\tau |b,s,\beta ),\quad \beta \neq 1$ $=(1/b^{2})(1/s^{2}),\quad \beta =1$ ${\text{де }}$ ${_{3}{\text{F}}_{2}}(a,b,c;d,e;z)=\sum _{k=0}^{\infty }\{(a)_{k}(b)_{k}(c)_{k}/[(d)_{k}(e)_{k}]\}z^{k}/k!$ ${\text{і }}$ $(a)_{k}=\Gamma (a+k)/\Gamma (a)$
Твірна функція моментів (mgf)	${\text{E}}(e^{-tx})$ $=\beta ^{s}[sb/(t+sb)]{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),$ $\quad \beta \neq 1$ $=sb/(t+sb),\quad \beta =1$ ${\text{де }}{_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$

Специфікація

Функція щільності

Функція щільности розподілу ґамма/Ґомперца:

$f(x;b,s,\beta )={\frac {bse^{bx}\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}}}$

де $b>0$ - параметр масштабу та $\beta ,s>0\,\!$ - параметри форми розподілу ґамма/Ґомперца.

Функція розподілу

Функція розподілу ґама/Ґомперца:

${\begin{aligned}F(x;b,s,\beta )&=1-{\frac {\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s}}},{\ }x>0,{\ }b,s,\beta >0\\[6pt]&=1-e^{-bsx},{\ }\beta =1\\\end{aligned}}$

Твірна функція

Твірна функція моментів, задається:

${\begin{aligned}{\text{E}}(e^{-tx})={\begin{cases}\displaystyle \beta ^{s}{\frac {sb}{t+sb}}{\ }{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),&\beta \neq 1;\\\displaystyle {\frac {sb}{t+sb}},&\beta =1.\end{cases}}\end{aligned}}$

де ${_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$ — гіпергеометрична функція.

Властивості

Розподіл ґамма/Ґомперца доволі гнучкий розподіл, якому можна надавати перекосів вправо чи вліво.

Пов’язані розподіли

• Коли β = 1, розподіл перетворюється на експоненціальний розподіл з параметром sb.
• Гамма-розподіл є природним апріорним спряженням до правдоподібності Ґомперца з відомими параметрам масштабу $b$
• Коли параметр форми $\eta \,\!$ розподілу Ґомперца змінюється за законом ґамма-розподілу з параметром форми $\alpha \,\!$ і параметром масштабу $\beta \,\!$ (середнє = $\alpha /\beta \,\!$ ), тоді $X$ розподілена за ґамма/Ґомперцом.

Див. також

• Розподіл Ґомперца
• Цінність клієнта протягом усього життя

Список літератури

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). Modeling Purchasing Behavior With Sudden 'Death': A Flexible Customer Lifetime Model. Management Science. 58 (5): 1012—1021. doi:10.1287/mnsc.1110.1461. Архів оригіналу за 26 червня 2015.(англ.)
• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2011). Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB (PDF). Cergy-Pontoise: ESSEC Business School. (англ.)
• Gompertz, B. (1825). On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 115: 513—583. doi:10.1098/rstl.1825.0026. JSTOR 107756. Архів оригіналу за 20 січня 2021. Процитовано 29 січня 2021.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Т. 2 (вид. 2nd). New York: John Wiley & Sons. с. 25—26. ISBN 0-471-58494-0. (англ.)
• Manton, K. G.; Stallard, E.; Vaupel, J. W. (1986). Alternative Models for the Heterogeneity of Mortality Risks Among the Aged. Journal of the American Statistical Association. 81 (395): 635—644. doi:10.1080/01621459.1986.10478316. PMID 12155405.(англ.)