Шифр XOR

Шифр XOR — алгоритм шифрування, який як ключ використовує ключове слово та може бути записаний формулою

C_i = P_i XOR K_j.

де K_j - j-та літера ключового слова представлена в кодуванні ASCII.

Ключове слово повторюється поки не отримано гаму, рівну довжині повідомлення.

Історія

Набув широкого застосування у комп'ютерних мережах 90-х років у зв'язку зі простотою реалізації. Застосовувався для шифрування документів Microsoft Word в середовищі Windows 95.

На основі ГПВЧ

Нехай $S$ - внутрішній стан ГПВЧ, $g(K)$ - функція перетворення стану, $f(K)$ - функція шифрування.

Функція шифрування може змінюватися випадковим чином з кожним символом, тому вихід цієї функції повинен залежати не лише від поточного вхідного символу, але й від внутрішнього стану $S$ генератора. Цей внутрішній стан перетворюється функцією перетворення стану $g(K)$ після кожного кроку шифрування. Генератор складається з компонентів $S$ та $g(K).$ Безпечність такого шифру залежить від числа внутрішніх станів $S$ й складності функції перетворення $g(K).$ Відповідно характеристики послідовних шифрів залежать від властивостей генераторів псевдовипадкових чисел. З іншої сторони, сама функція шифрування $f(K)$ є достатньо простою і може складатися лише з логічної операції ХОР.

Схематично генератори ПВЧ можуть бути реалізовані у вигляді скінченних автоматів, які включають двійкові тригерні комірки пам'яті. Якщо скінченний автомат має $n$ комірок пам'яті, тоді він може приймати $2^{n}$ різних внутрішніх станів $S.$ Функція перетворення станів $g(K)$ представляється за допомогою комбінаторної логіки.

У загальному, процес шифрування полягає у генерації відправником за допомогою ГПВЧ гами шифру й накладанні отриманої гами на відкритий текст таким чином, наприклад з використанням операції додавання по модулю 2, що в результаті отримується шифрований текст. Процес розшифрування зводиться до повторної генерації гами шифру отримувачем повідомлення й накладення цієї гами на зашифровані дані.

В якості ключового потоку можна використовувати нелінійно "відфільтровани" вміст зсувного регістру, а для отримання послідовності максимальної довжини - лінійний зворотний зв'язок.

Функція f обирається таким чином, щоб забезпечити баланс між нулями та одиницями, а фільтрована послідовність мала розподіл, близький до рівномірного. Також потрібно, щоб фільрована послідовність мала великий період. Якщо $2^{m}-1$ є простим числом (наприклад, при $m=3,\,\,\,\quad \,\,2^{3}-1=7$), то фільтрована послідовність може мати період $2^{m}-1$ при виборі структури зсувового регістру у відповідності із незвідним тривіальним многочленом $h(X)$ степені $m.$ До таких $m$ відносяться 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 607, 1279, 2203, 2281, а отримані таким чином чила є простими числами Мерсенна.

В колі зворотного зв'язку може використовуватися нелінійна логіка. Типовий нелінійний генератор із регістром зсуву представляє собою генератор, у схемі зворотного зв'язку якого засосовується нелінійна логіка. У лінійному генераторі використовувався лише зворотний зв'язок по модулю 2; цей зворотний зв'язок можна розглядати як "лінійну логіку". Прикладом нелінійної логіки може бути додавання по модулю 2 вихідного сигналу одного каскаду $S_{i}$ із логічною комбінацією кон'юнкції вихідних сигналів двох інших каскадів ($S_{j}$ та $S_{k}$). Це можна записати наступним чином:

${\text{Логіка зворотного зв'язку = }}S_{i}+S_{j}S_{k.}$

Основною перевагою такого нелінійного генератора із регістром зсуву (у порівнянні із лінійним генератором й нелінійними генераторами інших типів) є те, що він дає більше "максимальних" послідовностей (довжиною $2^{n}$) при даному числі n каскадів регістру.

Якщо період гами шифру перевищує довжину тексту, який шифрується й нападнику невідома жодна частина відкритого тексту, то такий шифр можна відкрити лише прямим перебором усії варіантів ключа. У цьому випадку криптостійкість шифру визначається довжиною ключа, яка може бути достатньо великою.

Використання

Джерелом гами шифру може бути блоковий шифр, який працює у режимі зворотного зв'язку й на основі діючого ключа $K$ та вектору ініціалізації $IV$.

Якщо НСД чисел $n,\delta \in \mathbb {N}$ ($n>1:(n,\delta )=1$), то $\forall l\in \mathbb {Z} _{n}$ у рівнянні

$l+k\cdot \delta =x_{k}\mathrm {mod} \,n,$

для різних $k\in \mathbb {Z} _{n}$ усі значення $x_{k}\in \mathbb {Z} _{n}$ є різними.

Нехай $k_{1}\neq k_{2},$ але $x_{1}=x_{2}.$ Тоді

$l+k_{1}\cdot \delta =l+k_{2}\cdot \delta \,\mathrm {mod} \,n,$

або

$(k_{1}-k_{2})\cdot \delta =0\,\mathrm {mod} \,n.$

Останнє суперечить вимозі взаємної простоти чисел $(n,\delta )=1,$ тобто $\forall k_{1}\neq k_{2}\Rightarrow x_{1}\neq x_{2}.$

Алгоритм генерації підстановки степені $n$, $X={\begin{pmatrix}0&...&n-1\\x_{0}&...&x_{n-1}\end{pmatrix}}$ , формулюється за допомогою послідовності випадкових чисел $j_{0},j_{1},...,j_{n-1}\in \mathbb {Z} _{n}.$ Вибір величини $n$ - розміру підстановки заміни можна прийняти довільним. Для забезпечення зручної реалізації алгоритму доцілно обирати значення, які відповідають розрядній сітці мікропроцесорів, а саме: $n=2^{m},$ де $m=2,4,8,...$ Коефіцієнт імітостійкості для $n=2^{2}$ є найменшим, а застосування $n=2^{8}=256$ призведе до суттєвого сповільнення процесу шифрування.

Матриця перехідних ймовірностей для вузла накладання шифру обчислюється формулою:

${\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}p_{11}&...&p_{1n}\\...&...&...\\p_{n1}&...&p_{nn}\end{pmatrix}}=\sum x_{i}\in S_{n}p_{x_{i}}\cdot {\bar {X}}_{i},$

де $p_{ij}=P(i/j),\,\,\,i,j={\overline {1,n}}$ - умовна ймовірністьпояви на виході вузла знаку $j$ в разі надходження знаку $i;$ ${\bar {X}}_{i}$ - підстановочна матриця, яка відповідає генерованій підстановці $X_{i}\in S_{n}.$

Якщо послідовність випадкових чисел $j_{0},j_{1},...,j_{n-1}\in \mathbb {Z} _{n}$ є незалежною у сукупності та має рівномірний розподіл, алгоритм забезпечує формування $S_{n}$ - симетричної групи підстановок степені $n.$ Ймовірність появи послідовності $j_{0},j_{1},...,j_{n-1}\in \mathbb {Z} _{n}$

$P(j_{0},j_{1},...,j_{n-1}\in \mathbb {Z} _{n})=({\frac {1}{n}})^{n}\neq 0,$

в тому числі такої, яка утворює нижню стрічку підстановки без коригування послідовності.

Для формального опису алгоритму використовується оператор Бекуса присвоєння значення деякої змінної :=, множина сформованих переходів позначена через ${\mathcal {A}}$

Крок	Формальний опис	Коментар
1.	$k:=j_{k},\,m:=1,\,{\mathcal {A}}:=\{\emptyset \}.$	Ініціалізація змінних
2.	$x_{k}:=j_{m}.$	Визначення чергового переходу
3.	${\mathcal {A}}:={\mathcal {A}}\cup \{x_{k}\}.$	Перелік визначених переходів.
4.	$k:=k+1\,\mathrm {mod} \,n.$	Номер наступного переходу
5.	$m:=m+1.$	Номер чергового випадкового числа
6.	Якщо $m=n$, то виконується крок 10, якщо ні - крок 7	Умовний перехід у кінець.
7.	Якщо $j_{m}\notin {\mathcal {A}}$, то виконується крок 2, якщо ні - крок 8	Умовний перехід до визначення наступного переходу.
8.	$j_{m}:=j_{m}+\delta \,\mathrm {mod} \,n.$	Модифікація випадкового числа.
9.	Далі виконується крок 7.	Перехід до перевірки у переліку визначених переходів.
10.	Останньому переходові присвоюється значення $x_{k}:=\mathbb {Z} _{n}\setminus {\mathcal {A}}.$	Завершення роботи алгоритму.

Приклад

Відкритий текст: "алгоритм шифрування, який як ключ використовує ключове слово"

Ключ: "qwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwertyqwerty"

Шифротекст:"‘њ†њ„‘ѓ›EЉњЌЃ„‡’™”Ћ[EЌћ‘*W–R‹“џ†—БТ“љ‰’’T›™ќ‹‚њ€ѓ™‡ЃОY›њ›…љ›”W”™љ›џ"

Відкритий текст	а	11100000
Ключ	q	01110001
Шифротекст	‘	10010001

по правилу

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0

Криптоаналіз

Криптоаналіз шифру XOR аналогічний криптоаналізу шифра Віженера .

Ще ефективніша атака з відомим відкритим текстом, у разі якщо відомо частину відкритого тексту: Для приведеного прикладу, якщо стало відомо що повідомлення починається зі слова "алгоритм"

"алгоритм" XOR "‘њ†њ„‘ѓ›" ="qwertyqw" .

Таким чином ключ відновлено.

Якщо використовується ключ довжиною, як найменше, рівний довжині повідомлення, то шифр XOR стає значно більш криптостійким, ніж при використанні ключа, що повторюється. У разі, якщо для утворення такого ключа використовується генератор псевдовипадкових чисел, то результатом буде потоковий шифр.

Якщо для утворення ключа використовується генератор істинно випадкових чисел, то у цьому разі ми маємо справу з шифром Вернама - єдиною криптографічною системою, для якої теоретично доведена абсолютна криптографічна стійкість.

Посилання

шифр Ксор