Число обертання

інваріант гомеоморфізмів кола

У теорії динамічних систем, галузі математики, число обертання гомеоморфізму кола, що зберігає орієнтацію, - середнє "число обертів на одну ітерацію" при тривалому ітеруванні точки. Точніше, це границя відношення (у певний спосіб визначеного) "числа обертів" до кількості ітерацій.

Визначення ред.

Для формального визначення замість гомеоморфізму кола   розглядають його підняття   для накриття кола прямою   . Число зсуву цього підняття визначають як границю

 

де   - довільна точка. Число обертання f тоді визначають як

  .

Властивості ред.

  • Число обертання є інваріантом топологічного спряження, що зберігає орієнтацію, і навіть напівспряження відображеннями степеня 1: якщо   - відображення степеня 1, таке, що  , де   — гомеоморфізми кола, числа обертання   і   збігаються.
  • Як стверджує теорема Пуанкаре, число обертання раціональне тоді й лише тоді, коли відображення має періодичну точку.
  • Теорема Данжуа стверджує, що якщо відображення   — C2-гладке, а його число обертання   ірраціональне, то   спряжене повороту на  .
  • Число обертання неперервно залежить від гомеоморфізму - відображення   неперервне.

Література ред.

  • Каток А. Б.[ru], Хассельблат Б.[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.