Чирп-маса

Чирп-маса (англ. chirp mass) компактної подвійної системи визначає провідний порядок орбітальної еволюції системи в результаті втрати енергії від випромінювання гравітаційних хвиль. Оскільки частота гравітаційної хвилі визначається орбітальною частотою, чирп-маса також визначає еволюцію частоти сигналу гравітаційної хвилі, що випромінюється протягом розпаду орбіти подвійної системи. При аналізі даних гравітаційних хвиль легше виміряти чирп-масу, ніж маси двох компонентів окремо. Англійский оригінал терміну походить від слова chirp, яке позначає щебетання, але також використовується для опису останньої стадії злиття чорних дір в подвійній системі, коли частота гравітаційної хвилі різко збільшується.

Визначення з мас компонентів

Система з двох тіл з масами $m_{1}$ і $m_{2}$ має чирп-масу

${\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}$

Чирп-маса також може бути виражена через загальну масу системи $M=m_{1}+m_{2}$ та інші загальні параметри маси:

• зведена маса $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$:

  ${\mathcal {M}}=\mu ^{3/5}M^{2/5},$

• відношення мас $q=m_{1}/m_{2}$:

  ${\mathcal {M}}=\left[{\frac {q}{(1+q)^{2}}}\right]^{3/5}M,$ або

• симетричне відношення мас $\eta ={\frac {m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}={\frac {\mu }{M}}={\frac {q}{(1+q)^{2}}}=\left({\frac {m_{\rm {geo}}}{M}}\right)^{2}$ :

  ${\mathcal {M}}=\eta ^{3/5}M.$

  Симетричне відношення мас досягає максимального значення $\eta ={\frac {1}{4}}$, коли $m_{1}=m_{2}$, і, таким чином ${\mathcal {M}}=(1/4)^{3/5}M\approx 0.435\,M.$

• середнє геометричне мас компонентів $m_{geo}={\sqrt {m_{1}m_{2}}}$:

  ${\mathcal {M}}=m_{\rm {geo}}\left({\frac {m_{\rm {geo}}}{M}}\right)^{1/5},$

  Якщо маси двох компонентів приблизно однакові, то останній множник близький до $(1/2)^{1/5}=0.871,$ так що ${\mathcal {M}}\approx 0.871\,m_{\rm {geo}}$. Цей множник зменшується для різних мас компонентів, але досить повільно. Наприклад, для відношення мас 3:1 він стає рівним ${\mathcal {M}}=0.846\,m_{\rm {geo}}$, тоді як для відношення мас 10:1 — ${\mathcal {M}}=0.779\,m_{\rm {geo}}.$

Орбітальна еволюція

У загальній теорії відносності еволюцію орбіти подвійної системи можна обчислити за допомогою постньютонівського наближення — розкладу в ряд за ступенями орбітальної швидкості $v/c$. Еволюція головної частоти гравітаційної хвилі $f$ описується диференціальним рівнянням

${\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}$

(1)

де $c$ — швидкість світла, а $G$ — гравітаційна стала. Якщо можна одночасно виміряти частоту $f$ і похідну частоти ${\dot {f}}$ гравітаційної хвилі, то можна визначити чирп-масу.

${\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}$

(1)

Щоб визначити маси окремих компонентів у системі, необхідно додатково виміряти члени вищого порядку в постньютонівському розкладі.

Виродження між масою і червоним зміщенням

Одним з обмежень чирп-маси є те, що на неї впливає червоне зміщення: те, що насправді виражається зі спостережуваної форми гравітаційної хвилі, є добутком

${\mathcal {M}}_{o}={\mathcal {M}}(1+z)$

де $z$ — червоне зміщення. Ця червонозміщена чирп-маса більша, ніж істинна чирп-маса, і її можна перетворити істинну чирп-масу лише шляхом визначення червоного зміщення $z$.

Зазвичай це вирішується використанням спостережуваної амплітуди для визначення чирп-маси, поділеної на відстань, і розв'язання обох рівнянь за допомогою закону Габбла для обчислення співвідношення між відстанню та червоним зміщенням.

Див. також

• Зведена маса
• Задача Кеплера в загальній теорії відносності