Зведена маса

Зведена маса - міра інерційності відносного руху матеріальних точок. Ця величина дозволяє звести задачу двох тіл до задачі одного тіла.

Зазвичай позначається літерою μ і має розмірність маси.

Зведена маса двох тіл із масами $m_{1}\,$ та $m_{2}\,$ дорівнює

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$.

Зведена маса менша за масу обох тіл.

Виведення

Рівняння можна отримати таким чином.

Ньютонова механіка

Використовуючи другий закон Ньютона, сила з якою тіло 2 діє на тіло 1 є

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,$

Сила з якою тіло 1 діє на тіло 2 є

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$

Згідно з третім законом Ньютона, ці сили рівні за модулем і протилежні за напрямком:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,$

Отже,

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$

$\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,$

Відносне прискорення a_rel між двома тілами задане як

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{\rm {red}}}}.$

Отже ми можемо дійти висновку, що тіло 1 рухається щодо позиції тіла 2 як тіло маса якого дорівнює зведеній масі.

Механіка Лагранжа

Інакше, опис Лагранжа задачі двох тіл дає Лагранжіан

$L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,$

де r це вектор позиції маси m_i (частинки $i$). Потенціальна енергія V це функція яка залежить лише від відстані між двома частинками. Якщо ми визначимо

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

і покладемо початок координат в одну точку з центром мас, тобто

$m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$,

тоді

$\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

Тепер, підставляючи, отримуємо новий Лагранжіан

$L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$

де

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

є зведеною масою. Отже, ми звели задачу двох тіл до задачі з одним тілом.

Див. також

• Задача двох тіл
• Система центру мас

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.