Часткова геометрія

Нехай є структура інцидентності $C=(P,L,I)$ , що складається з точок $P$ , прямих $L$ і прапорів $I\subseteq P\times L$ . Кажуть, що точка $p$ інцидентна прямий $l$ , якщо $(p,l)\in I$ . Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа $s,t,\alpha \geq 1$ , такі, що:

Для будь-якої пари різних точок $p$ і $q$ існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам.
Кожна пряма інцидентна $s+1$ точці.
Кожна точка інцидентна $t+1$ прямій.
Якщо точка $p$ і пряма $l$ не інцидентні, існує рівно $\alpha$ пар $(q,m)\in I$ , таких, що $p$ інцидентна $m$ , а $q$ інцидентна $l$ .

Часткова геометрія з цими параметрами позначається $pg(s,t,\alpha )$ .

Властивості

Число точок задається формулою ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ , а число прямих — формулою ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ .
Точковий граф^[1] структури $pg(s,t,\alpha )$ є сильно регулярним графом: $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))$ .
Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для $pg(s,t,\alpha )$ є структура $pg(t,s,\alpha )$ .

Окремі випадки

Узагальнені чотирикутники — це точно часткові геометрії $pg(s,t,\alpha )$ з $\alpha =1$ .
Системи Штейнера — це точно часткові геометрії $pg(s,t,\alpha )$ з $\alpha =s+1$ .

Узагальнення

Частково лінійний простір^[en] $S=(P,L,I)$ порядку $s,t$ називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа $\alpha \geq 1,\mu$ , такі, що:

Якщо точка $p$ і пряма $\ell$ не інцидентні, існує або $0$ , або рівно $\alpha$ пар $(q,m)\in I$ , таких, що $p$ інцидентна $m$ і $q$ інцидентна $\ell$ .
Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно $\mu$ спільних сусідів.

Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли $\mu =\alpha (t+1)$ .

Легко показати, що граф колінеарності^[1] такої геометрії строго регулярний з параметрами $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )$ .

Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки $PG(3,q^{2})$ і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$ .

Примітки

↑ ^а ^б Якщо дано часткову геометрію P, в якій будь-які дві точки визначають максимум одну пряму, графом колінеарності або точковим графом геометрії P називають граф, вершинами якого є точки P, а дві вершини з'єднано ребром тоді й лише тоді, коли вони визначають пряму в P.

Література

Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A. — Toronto : Academic Press, 1984. — С. 85–122.
Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. — Т. 13 (30 червня). — С. 389–419. Архівовано з джерела 22 червня 2019. Процитовано 29 липня 2021.
De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8.
Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. — Т. 25 (30 червня). — С. 242–250.

[point_graph-1] а ^б Якщо дано часткову геометрію P, в якій будь-які дві точки визначають максимум одну пряму, графом колінеарності або точковим графом геометрії P називають граф, вершинами якого є точки P, а дві вершини з'єднано ребром тоді й лише тоді, коли вони визначають пряму в P.

[1]