Формула Фейнмана-Каца , названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами . З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.
Формулювання
ред.
Нехай маємо РЧП:
∂
f
∂
t
+
μ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
f
∂
x
2
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=0}
і умову
f
(
x
,
T
)
=
ψ
(
x
)
{\displaystyle \ f(x,T)=\psi (x)}
де
μ
,
σ
,
ψ
{\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi }
T
{\displaystyle \ T}
f
{\displaystyle \ f}
рекурентне рівняння Колмогорова (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання :
f
(
x
,
t
)
=
E
[
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
{\displaystyle \ f(x,t)=E[\psi (X_{T})|X_{t}=x]}
де
X
{\displaystyle \ X}
процес Іто , що описується рівнянням
d
X
=
μ
(
X
,
t
)
d
t
+
σ
(
X
,
t
)
d
W
,
{\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW,}
де
W
(
t
)
{\displaystyle \ W(t)}
Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух ) і початкова умова для
X
(
t
)
{\displaystyle \ X(t)}
X
(
0
)
=
x
{\displaystyle \ X(0)=x}
Метод Монте-Карло чи квазі Монте-Карло методи .
Доведення
ред.
Застосувавши лему Іто до невідомого процесу
f
(
X
t
,
t
)
{\displaystyle \displaystyle f(X_{t},t)}
d
f
=
(
μ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
+
∂
f
∂
t
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
f
∂
x
2
)
d
t
+
σ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
d
W
.
{\displaystyle df=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)\,dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW.}
Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо
f
(
X
T
,
T
)
−
f
(
x
,
t
)
=
∫
t
T
d
f
=
∫
t
T
σ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
d
W
.
{\displaystyle f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}df=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW.}
Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:
f
(
x
,
t
)
=
E
[
f
(
X
T
,
T
)
]
−
E
[
∫
t
T
σ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
d
W
]
.
{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW\right].}
Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі
W
{\displaystyle \displaystyle W}
f
(
x
,
t
)
=
E
[
f
(
X
T
,
T
)
]
=
E
[
ψ
(
X
T
)
]
=
E
[
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
.
{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].}
Див. також
ред.
Література
ред.
Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — : Мир, 2003. — 408 с.Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.Simon B. 
![{\displaystyle \ f(x,t)=E[\psi (X_{T})|X_{t}=x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2df8163266eade1e8d256b12748703dc319b32)
![{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567fcc0b50737f423fe5439ec648c647fd67f6cf)
![{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7993cc2c3ecb1b5a03cd21e9891a60f4836542)