Формула Маграбе

У фінансовій математиці, формула Маграбе — це одна з формул оцінки опціонів. Її застосовують до опціону на обмін (опціон Маграбе) одного ризикованого активу на інший у момент погашення. Формулу незалежно запропонували Вільям Маграбе і Стенлі Фішер 1978 року.

Визначення

Нехай $S_{1}(t)$ і $S_{2}(t)$ — ціни двох ризикованих активів у момент $t$, кожен з них має фіксований неперервний дивіденд рівний $q_{i}$. Опціон $C$, який ми хочемо оцінити, дає покупцеві право (але не обов'язок) обміняти другий актив на перший у момент погашення $T$. Іншими словами, його виграш $C(T)$ становитиме $\max(0,S_{1}(T)-S_{2}(T))$.

Модель ринку Маграбе передбачає тільки існування двох ризикованих активів, чиї ціни дотримуються геометричного броунівського руху. Волатильності цих броунівських рухів не сталі, але важливо, що волатильність $\sigma$ їх відношення $S_{1}/S_{2}$ є константою. Зокрема, модель не передбачає існування безризикового активу (такого як облігація з нульовим купоном) або будь-якої норми відсоткової ставки.

Якщо волатильності $S_{i}$ дорівнюють $\sigma _{i}$, то $\textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}$, те $\rho$ — коефіцієнт кореляції броунівських рухів $S_{i}$.

Формула Маграбе встановлює справедливу ціну опціону в початковий момент часу як:

$e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})$

де через $N$ позначено кумулятивний стандартний нормальний розподіл,

$d_{1}={\frac {\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$,

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}$.

Доведення

Формула доводиться зведенням до формули Блека — Шоулза:

• По-перше, розглянемо обидва активи, оцінені в одиницях $S_{2}$ (у таких випадках кажуть, що $S_{2}$ використовується як рахункові гроші), це означає, що одиниця першого активу тепер коштує $S_{1}/S_{2}$ одиниць другого активу, а другий актив коштує рівно 1.
• За такого вибору рахункових грошей, другий актив стає безризиковим і його дивідендна ставка $q_{2}$ збігається з нормою відсоткової ставки. Дохід опціону, перерахований відповідно до зміни рахункових грошей, дорівнює $\max(0,S_{1}(T)/S_{2}(T)-1)$.
• Таким чином, вихідний опціон стає кол-опціоном на перший базовий актив (з його рахунковою ціною) ціною страйк рівною 1 одиниці безризикового активу. Зазначимо, що дивідендна ставка $q_{1}$ першого активу залишається тією ж самою навіть після перерахунку.
• Застосовуючи формулу Блека — Шоулза до цих значень як до відповідних вхідних даних, наприклад, значення початкового активу $S_{1}(0)/S_{2}(0)$, відсоткова ставка $q_{2}$, волатильність $\sigma$ і т. д, отримаємо ціну опціону, виражену в рахункових грошах.
• Оскільки остаточну ціну опціону виражено в одиницях $S_{2}$, то множення на $S_{2}(0)$ переведе відповідь у початкові одиниці, тобто звичайну валюту, в якій і отримаємо формулу Маграбе.

Див. також

• Модель Блека — Шоулза
• Модель Блека

Література

• William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
• Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978

Посилання

• The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg [Архівовано 12 серпня 2011 у Wayback Machine.]