Форма Бовіля — Богомолова

Форма Бовіля — Богомо́лова (також Бовіля — Богомо́лова — Фуджикі) — квадратична форма, що існує на других когомологіях $H^{2}(X,\mathbb {C} )$ компактного гіперкелерового многовиду. Названа на честь Арно Бовіля і Федора Богомолова.

Означення

Нехай $\sigma$ — твірна в $H^{2,0}(X,\mathbb {C} )$, обрана так, щоб $\int _{X}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n}=1$ (тобто симплектична форма). Тоді будь-яка 2-форма допускає розкладання на годжеви компоненти: $\alpha =\lambda \sigma +\mu {\overline {\sigma }}+\beta ;\beta \in H^{1,1}(X)$. Визначимо квадратичную форму наступною формулою:

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{X}\beta ^{2}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n-1}$

Властивості форми Бовіля — Богомолова

1. Нехай ${\mathfrak {X}}\to B$ — універсальна локальна деформація $X$ (її база $B$ буде кулею). Тоді для $t\in B$, досить близьких до $0$, $q({\sigma }_{t})=0$, $q({\sigma }_{t},{\overline {{\sigma }_{t}}})>0$ (в останній формулі $q$ позначає симетричну білінійну форму, побудовану за квадратичною формою визначеною вище).
2. Відображення, яке ставить точці $t\in B$ точку, що відповідає формі ${\sigma }_{t}$ в проективізаціі других когомологій $\mathbb {P} (H^{2}(X,\mathbb {C} ))$, є, більш того, локальним ізоморфізмом з множиною нулів форми $q$ (локальна теорема Тореллі).
3. $q|_{H^{2}(X,\mathbb {R} )}$ — невироджена форма сигнатури $(3,b_{2}(X)-3)$, де $b_{2}$ — друге число Бетті.
4. Співвідношення Фуджикі: якщо $\alpha \in H^{2}(X,\mathbb {R} );{q(\alpha )}^{n}=c\int _{X}{\alpha }^{2n}$, де $c$ — деяка константа, яка не залежить від комплексної структури на $X$ (а тільки від його топології).

Посилання

• Global Torelli theorem for hyperkaehler manifolds, Misha Verbitsky