Ультрафільтр (математика)

Ультрафільтр (максимальний фільтр) — фільтр частково впорядкованої множини, для якого не існує фільтра в який він би включався. Поняття фільтра виникло в топології.

Властивості

• Головний фільтр завжди є ультрафільтром.
• Ультрафільтр на скінченній множині є головним фільтром.

Теореми про прості ідеали

Твердження, що довільний фільтр міститься в деякому ультрафільтрі не може бути доведене без аксіоми вибору. Це твердження також відоме під назвою — лема про ультрафільтр.

Важливим наслідком теореми є існування не головних ультрафільтрів в нескінченних множинах.

Властивості

• Якщо ультрафільтр на множині є головним, то перетин всіх елементів ультрафільтра дорівнює головному (породжуючому) елементу ультрафільтра.
• Якщо ультрафільтр на множині є не головним, то перетив всіх елементів ультрафільтра є порожньою множиною.

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)