Тіло сталої ширини
опукле тіло, ортогональна проєкція якого на будь-яку пряму є відрізком сталої довжини
Ті́ло ста́лої ширини́ ― опукле тіло, ортогональна проєкція якого на будь-яку пряму є відрізком сталої довжини. Довжину цього відрізка називають шириною цього тіла. Найпростішим прикладом тіла сталої ширини є куля. Але крім кулі, існує безліч інших (не обов'язково гладких) тіл сталої ширини, наприклад, тіло, поверхню якого отримано обертанням трикутника Рело навколо однієї з його осей симетрії.
Властивості ред.
- Клас тіл постійної ширини збігається з класом опуклих тіл сталого обхвату, для яких межі ортогональних проєкцій на всілякі площини мають однакову довжину.
Відкриті проблеми ред.
- Невідомо, яке тіло сталої ширини має найменший об'єм (гіпотеза Боннесена ― Фенхеля)[1][2][3].
- Майже нічого не відомо про асимптотику найменшого об'єму тіл ширини 1 за розмірності, що прямує до нескінченності[4].
Варіації та узагальнення ред.
- Тіло називається ротором многогранника K якщо воно може вільно обертатися в K торкаючись усіх його граней корозмірності 1. Наприклад, будь-яке тіло сталої ширини є ротором куба.
- Будь-який многогранник, у якого існує ротор, є описаним.
- Правильні многогранники мають нетривіальні ротори, тобто відмінні від кулі[5][6].
Див. також ред.
Примітки ред.
- ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1) (нім.)
- ↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width // Oberwolfach Reports. — Zurich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6, no. 1 (21 April). — P. 390—393.
- ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence : American Mathematical Society, 2011. — Vol. 139, no. 5 (21 April). — P. 1831—1839. — ISSN 0002-9939. — DOI:. arXiv:0906.3217
- ↑ Gil Kalai, Volumes of Sets of Constant Width in High Dimensions.
- ↑ Rolf Schneider, The use of spherical harmonics in convex geometry (Summer school on «Fourier analytic and probabilistic methods in geometric functional analysis and convexity», Kent State University, August 13-20, 2008)
- ↑ Michael Goldberg, "Rotors in Polygons and Polyhedra, " Mathematics of Computation, Vol. 14, No. 71 (July, 1960), pp. 229—239.
Література ред.
- Бляшке В. Круг и шар / Пер. с нем. В. А. Залгаллера и С. И. Залгаллер. — М. : Наука, 1967. — 232 с. — 140000 прим.