Третя квадратична форма

Третя квадратична форма — один із способів описувати кривини поверхні. Зазвичай позначається $\mathbf {I\!I\!I}$.

Означення

Нехай $S$ позначає Оператор форми гладкої поверхні $\Sigma$. Окрім того, нехай $\mathbf {u}$ і $\mathbf {v}$ є елементами дотичного простору $T_{p}$ в точці $p\in \Sigma$. Третя фундаментальна форма означається як такий скалярний добуток

$\mathbf {I\!I\!I} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle S(\mathbf {u} ),S(\mathbf {v} )\rangle .$

Властивості

• Третя квадратична форма не залежить від знака нормалі поверхні. (Це відрізняє її від другої квадратичної форми, яка змінює знак при зміні знаку нормалі)

• Третя квадратична форма виражається через першу і другу квадратичну форма.

  $\mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,$

де $H$ — средня кривина поверхні і $K$ — кривина Гауса поверхні.

• Оскільки оператор форми самосопряжений, для $u,v\in T_{p}(M)$ ми маємо

  $\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle$.