Відкрити головне меню

Перша квадратична форма або метричний тензор поверхні — квадратична форма від диференціалів координат на поверхні, яка визначає внутрішню геометрію поверхні в околі даної точки. Наявності першої квадратичної форми достатньо для обчислення довжин дуг, кутів між кривими, площі областей на поверхні.

ВизначенняРедагувати

Нехай поверхня задана рівнянням

 

де   і   ― внутрішні координати на поверхні;

 

― Диференціал радіус-вектора   уздовж обраного напрямку зміщення з точки   в нескінченно близьку точку  . Квадрат головною ліпшіцевої частини прирощення довжини   виражається квадратом диференціала  :

 

і називається першою основною квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти першої квадратичної форми зазвичай позначають через

 

або в тензорних символах

 

Тензор   називається основним, або метричним, тензором поверхні.

Що можна обчислити за допомогою першої квадратичної форми?Редагувати
  1. Довжина кривої на поверхні.
  2. Кут між кривими на поверхні.
  3. Площа поверхні.

ВластивостіРедагувати

  • Перша квадратична форма є позитивно визначеною формою в звичайних точках поверхні:
 

Обчислення довжини та площіРедагувати

Перша квадратична форма повністю описує метричні властивості поверхні. Таким чином вона дозволяє обчислити довжини кривих на поверхні та площі областей на поверхні. Лінійний елемент ds може бути виражений в термінах коефіцієнтів першої квадратичної форми у вигляді

 .

Класична площа елемента задається   може бути виражена в термінах першої квадратичної форми за допомогою тотожності Лагранжа,

 

ПрикладРедагувати

Сфера одиничного радіуса в R3 може бути параметризована як

 

диференціюючи   по змінним u та v отримуємо

 

Коефіцієнти першої квадратичної форми можна знайти за допомогою скалярного добутку часткових похідних

 
 
 

Довжина кривої на сферіРедагувати

Екватор сфери є параметризована крива, задана   з t в діапазоні від 0 до  . Лінійний елемент може бути використаний, щоб обчислити довжину цієї кривої.

 

Площа області на сферіРедагувати

Площа елемента може бути використана для обчислення площі області.

 


ЛітератураРедагувати