Теорія пластин Кірхгофа-Лава являє собою двовимірну математичну модель , яка використовується для визначення напружень і деформацій в тонких пластинах , на які діють сили і моменти. Ця теорія, яка є продовженням Теорії балки Ейлера-Бернуллі була розроблена в 1888 році Лавом [1] з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом . Ця теорія припускає, що проміжна поверхню пластини може використовуватися для представлення тривимірної пластини в двовимірному вигляді.
Деформація тонкої пластини, яка показує переміщення серединної поверхні (червона) і нормалі до цієї серединної поверхні (синя) Кінематичні припущення, прийняті в цій теорії:[2]
прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні, залишаються перпендикулярними до серединної поверхні після деформації
товщина пластини не змінюється в процесі деформування.
Допустимі поля зміщень
ред.
Нехай радіус-вектор точки в недеформованій пластині — x {\displaystyle \mathbf {x} } . Тоді
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ≡ x i e i . {\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.} Вектори e i {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}} формують прямокутну систему координат з початком координат на середині поверхні пластини, x 1 {\displaystyle x_{1}} і x 2 {\displaystyle x_{2}} — Декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, і x 3 {\displaystyle x_{3}} — координата в напрямку товщини.
Нехай зміщення точки на пластині — u ( x ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )} . Тоді
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ≡ u i e i {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}} Це переміщення можна розкласти на вектор сум серединно-поверхневих зміщень u α 0 {\displaystyle u_{\alpha }^{0}} і зміщень w 0 {\displaystyle w^{0}} поза площиною в напрямку x 3 {\displaystyle x_{3}} .
u 0 = u 1 0 e 1 + u 2 0 e 2 ≡ u α 0 e α {\displaystyle \mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }} Зазначимо, що індекс α {\displaystyle \alpha } приймає значення 1 і 2, але не 3.
Тоді з гіпотези Кірхгофа випливає, що
u α ( x ) = u α 0 ( x 1 , x 2 ) − x 3 ∂ w 0 ∂ x α ≡ u α 0 − x 3 w , α 0 ; α = 1 , 2 u 3 ( x ) = w 0 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
Якщо φ α {\displaystyle \varphi _{\alpha }} є кутами повороту нормалі до серединної поверхні, тоді в теорії Кігхгофа-Лява
φ α = w , α 0 {\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}} Зазначимо, що ми можемо представити вираз для u α {\displaystyle u_{\alpha }} як розклад у ряд Тейлора першого порядку переміщення серединної поверхні.
Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)
Квазістатична пластина Кірхгофа-Лява
ред.
Оригінальна теорія, розроблена Лявом, була дійсна для нескінченно малих деформацій і поворотів. Теорія була розширена Карманом , коли незначні повороти допустимі.
Співвідношення між деформаціями і переміщеннями
ред.
Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно мале і повороти нормалі до поверхні становлять менше 10° відношення відносного видовження становлять [прояснити ]
ε α β = 1 2 ( ∂ u α ∂ x β + ∂ u β ∂ x α ) ≡ 1 2 ( u α , β + u β , α ) ε α 3 = 1 2 ( ∂ u α ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x α ) ≡ 1 2 ( u α , 3 + u 3 , α ) ε 33 = ∂ u 3 ∂ x 3 ≡ u 3 , 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}} З допомогою кінематичних припущень отримуємо
ε α β = 1 2 ( u α , β 0 + u β , α 0 ) − x 3 ω , α β 0 {\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}\omega _{,\alpha \beta }^{0}}
ε α 3 = − ω , α 0 + ω , α 0 = 0 {\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}=-\omega _{,\alpha }^{0}+\omega _{,\alpha }^{0}=0}
ε 33 = 0 {\displaystyle \varepsilon _{33}=0}
Тому існує єдина ненульова деформація в площині спрямування.
Рівняння рівноваги
ред.
Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи . Для тонкої пластини під квазістатичним поперечним навантаженням q ( x ) {\displaystyle q(x)} у напрямку x 3 {\displaystyle x_{3}} ці рівняння мають вигляд:
∂ N 11 ∂ x 1 + ∂ N 21 ∂ x 2 = 0 ∂ N 12 ∂ x 1 + ∂ N 22 ∂ x 2 = 0 ∂ 2 M 11 ∂ x 1 2 + 2 ∂ 2 M 12 ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 M 22 ∂ x 2 2 = q {\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q\end{aligned}}} де 2 h {\displaystyle 2h} - товщина пластини. В індексному представленні,
N α β , α = 0 N α β := ∫ − h h σ α β d x 3 {\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\;\;\;\;\;\;\;N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }dx_{3}}
M α β , α β − q = 0 M α β := ∫ − h h x 3 σ α β d x 3 {\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0\;\;\;\;\;\;\;M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}\sigma _{\alpha \beta }dx_{3}}
де σ α β {\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }} - напруження .
Моменти згинів і нормальні напруги
Обертальні моменти і дотичні напруги
Виведення рівнянь рівноваги при малих поворотах
Для ситуації, коли напруження і повороти пластини є незначними, внутрішня енергія становить:
δ U = ∫ Ω 0 ∫ − h h σ : δ ϵ d x 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ − h h σ α β δ ε α β d x 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ − h h [ 1 2 σ α β ( δ u α , β 0 + δ u β , α 0 ) − x 3 σ α β δ w , α β 0 ] d x 3 d Ω = ∫ Ω 0 [ 1 2 N α β ( δ u α , β 0 + δ u β , α 0 ) − M α β δ w , α β 0 ] d Ω {\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~d\Omega \end{aligned}}} де товщина пластини - 2 h {\displaystyle 2h} напруженість і момент напруженості визначені:
N α β := ∫ − h h σ α β d x 3 ; M α β := ∫ − h h x 3 σ α β d x 3 {\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}} Інтегруємо частинами і отримуємо:
δ U = ∫ Ω 0 [ − 1 2 ( N α β , β δ u α 0 + N α β , α δ u β 0 ) + M α β , β δ w , α 0 ] d Ω + ∫ Γ 0 [ 1 2 ( n β N α β δ u α 0 + n α N α β δ u β 0 ) − n β M α β δ w , α 0 ] d Γ {\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}} Симетричність тензору напруженості показує, що N α β = N β α {\displaystyle N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }} . Отже
δ U = ∫ Ω 0 [ − N α β , α δ u β 0 + M α β , β δ w , α 0 ] d Ω + ∫ Γ 0 [ n α N α β δ u β 0 − n β M α β δ w , α 0 ] d Γ {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma } Ще одне інтегрування частинами дає:
δ U = ∫ Ω 0 [ − N α β , α δ u β 0 − M α β , β α δ w 0 ] d Ω + ∫ Γ 0 [ n α N α β δ u β 0 + n α M α β , β δ w 0 − n β M α β δ w , α 0 ] d Γ {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma } У випадку, коли немає зовнішніх сил, принцип можливих переміщень говорить, що δ U = 0 {\displaystyle \delta U=0} . Рівняння рівноваги для пластини задане як:
N α β , α = 0 M α β , α β = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}
Граничні умови
ред.
Граничні умови, які необхідні для розв'язування рівнянь рівноваги теорії пластин можуть бути отримані з граничних умов в принципі можливих переміщень. У відсутності зовнішніх сил на границі, граничні умови
n α N α β o r u β 0 n α M α β , β o r w 0 n β M α β o r w , α 0 {\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}} Основні співвідношення
ред.
Співвідношення деформації у випадку лінійної пружньої пластини задані як:
σ α β = C α β γ θ ε γ θ σ α 3 = C α 3 γ θ ε γ θ σ 33 = C 33 γ θ ε γ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}} Оскільки σ α 3 {\displaystyle \sigma _{\alpha 3}} і σ 33 {\displaystyle \sigma _{33}} не використовуються в рівнянні рівноваги то передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на динаміку балансу та не враховуються. Решта співвідношень деформації можна записати у матричній формі
[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} Потім,
[ N 11 N 22 N 12 ] = ∫ − h h [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] d x 3 = { ∫ − h h [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] d x 3 } [ u 1 , 1 0 u 2 , 2 0 1 2 ( u 1 , 2 0 + u 2 , 1 0 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}} і
[ M 11 M 22 M 12 ] = ∫ − h h x 3 [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] d x 3 = − { ∫ − h h x 3 2 [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] d x 3 } [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}} Поздовжня жорсткість є рівною
A α β := ∫ − h h C α β d x 3 {\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }dx_{3}} Жорсткість на згині задана величиною
{\displaystyle } D α β := ∫ − h h x 3 2 C α β d x 3 {\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}C_{\alpha \beta }dx_{3}} Згідно з припущень Кірхгофа-Лява сили зсуву не діють. Як результат, рівняння рівноваги використовуються для визначення сил зсуву в тонких пластинах Кірхгофа-Лява. Для ізотропних пластин рівняння виглядають
Q α = − D ∂ ∂ x α ( ∇ 2 ω 0 ) {\displaystyle Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}\omega ^{0})} Крім того, ці сили зсуву можуть бути виражені як
Q α = M , α {\displaystyle Q_{\alpha }=M_{,\alpha }} де
M = − D ∇ 2 ω 0 {\displaystyle M=-D\nabla ^{2}\omega ^{0}} Малі деформації і незначні повороти
ред.
Якщо повороти нормалі до поверхні знаходяться в діапазоні від 10∘ {\displaystyle ^{\circ }} до 15∘ {\displaystyle ^{\circ }} ,
ε α β = 1 2 ( u α , β + u β , α + u 3 , α u 3 , β ) {\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }u_{3,\beta })}
ε α 3 = 1 2 ( u α , 3 + u 3 , α ) {\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })}
ε 33 = u 3 , 3 {\displaystyle \varepsilon _{33}=u_{3,3}} За допомогою кінематичних припущень Кірхгофа-Лява отримуємо класичну теорію пластин Кармана
ε α β = 1 2 ( u α , β 0 + u β , α 0 + w , α 0 w , β 0 ) − x 3 w , α β 0 ε α 3 = − w , α 0 + w , α 0 = 0 ε 33 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}} Ця теорія є нелінійною через квадратичні співвідношення між деформаціями і переміщеннями.
Якщо співвідношення між деформаціями і переміщеннями взяти за Карманом, то рівняння рівноваги може бути виражена як
N α β , α = 0 M α β , α β + [ N α β w , β 0 ] , α − q = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}} Посилання
ред.
↑ A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells , Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
↑ Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells , CRC Press, Taylor and Francis.
Див. також
ред.