Теорія плит Кірхгофа — Лява

(Перенаправлено з Теорія плит Кірхгофа-Лява)

Теорія пластин Кірхгофа-Лава являє собою двовимірну математичну модель, яка використовується для визначення напружень і деформацій в тонких пластинах, на які діють сили і моменти. Ця теорія, яка є продовженням Теорії балки Ейлера-Бернуллі  була розроблена в 1888 році Лавом[1] з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Ця теорія припускає, що проміжна поверхню пластини може використовуватися для представлення тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Деформація тонкої пластини, яка показує переміщення серединної поверхні (червона) і нормалі до цієї серединної поверхні (синя)

Кінематичні припущення, прийняті в цій теорії:[2]

  • прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
  • прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні, залишаються перпендикулярними до серединної поверхні після деформації
  • товщина пластини не змінюється в процесі деформування.

Допустимі поля зміщень ред.

Нехай радіус-вектор точки в недеформованій пластині —  . Тоді

 

Вектори   формують прямокутну систему координат з початком координат на середині поверхні пластини,   і   — Декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, і   — координата в напрямку товщини.

Нехай зміщення точки на пластині —  . Тоді

 

Це переміщення можна розкласти на вектор сум серединно-поверхневих зміщень   і зміщень   поза площиною в напрямку  .

 

Зазначимо, що індекс   приймає значення 1 і 2, але не 3.

Тоді з гіпотези Кірхгофа випливає, що

 

Якщо   є кутами повороту нормалі до серединної поверхні, тоді в теорії Кігхгофа-Лява

 

Зазначимо, що ми можемо представити вираз для   як розклад у ряд Тейлора першого порядку переміщення серединної поверхні.

 
Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Квазістатична пластина Кірхгофа-Лява ред.

Оригінальна теорія, розроблена Лявом, була дійсна для нескінченно малих деформацій і поворотів. Теорія була розширена  Карманом, коли незначні повороти допустимі.

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями ред.

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно мале і повороти нормалі до поверхні становлять менше 10° відношення відносного видовження становлять [прояснити]

 

З допомогою кінематичних припущень отримуємо

 

 

 

Тому існує єдина ненульова деформація в площині спрямування.

Рівняння рівноваги ред.

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для тонкої пластини під квазістатичним поперечним навантаженням   у напрямку   ці рівняння мають вигляд:

 

де   - товщина пластини. В індексному представленні,

 

 

де   - напруження.

 
Моменти згинів і нормальні напруги
 
Обертальні моменти і дотичні напруги

Граничні умови ред.

Граничні умови, які необхідні для розв'язування рівнянь рівноваги теорії пластин можуть бути отримані з граничних умов в принципі можливих переміщень. У відсутності зовнішніх сил на границі, граничні умови

 

Основні співвідношення ред.

Співвідношення деформації у випадку лінійної пружньої пластини задані як:

 

Оскільки   і   не використовуються в рівнянні рівноваги то передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на динаміку балансу та не враховуються. Решта співвідношень деформації можна записати у матричній формі

 

Потім,

 

і

 

Поздовжня жорсткість є рівною

 

Жорсткість на згині задана величиною

 

Згідно з припущень Кірхгофа-Лява сили зсуву не діють. Як результат, рівняння рівноваги використовуються для визначення сил зсуву в тонких пластинах Кірхгофа-Лява. Для ізотропних пластин рівняння виглядають

 

Крім того, ці сили зсуву можуть бути виражені як 

 

де

 

Малі деформації і незначні повороти ред.

Якщо повороти нормалі до поверхні знаходяться в діапазоні від 10  до 15 ,

 
 
 

За допомогою кінематичних припущень Кірхгофа-Лява отримуємо класичну теорію пластин Кармана

 

Ця теорія є нелінійною через квадратичні співвідношення між деформаціями і переміщеннями.

Якщо співвідношення між деформаціями і переміщеннями взяти за Карманом, то рівняння рівноваги може бути виражена як

 

Посилання ред.

  1. A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
  2. Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.

Див. також ред.