Теорія пластин

В механіці суцільних середовищ, теорія пластин є математичним описом механіки плоских пластин, яка спирається на теорію балок. Пластини визначаються як площинні структурні елементи з невеликою товщиною порівняно з іншими вимірами. Типове відношення товщини до ширини пластини є меншим, ніж 0.1.^{[джерело?]} Теорія пластин використовує перевагу у геометрії для зведення  повної задачі тривимірної механіки деформівного твердого тіла до двовимірної задачі. Метою теорії пластин є обчислення деформацій і напружень у навантаженій пластині.

Режим коливань затисненої квадратної пластини

З численних теорій пластин, які були розроблені в кінці 19 століття, дві широко прийняті і використовуються в машинобудуванні. Це

• теорія пластин Кірхофа-Лове(класична теорія пластин)
• теорія пластин Міндліна–Рейсснера (теорія зсуву пластин першого порядку)

Теорія тонких пластин Кірхгофа — Лове

Деформації тонкої пластини. Виділені переміщення серединної поверхні (червоним) і нормалі до серединної поверхні (синім)

Теорія Кірхгофа — Лове є розширенням теорії балки Ейлера–Бернуллі на тонкі пластини. Теорія була розроблена в 1888 році Лове з використанням припущень, запропонованих Кірхгофом. Передбачається, що серединну поверхню площини можна використати для представленняя тривимірної пластини в двовимірному вигляді.

Такі кінематичі припущення було прийнято у цій теорії:

• прямі лінії, перпендикулярні до серединної поверхні залишаються прямими після деформації
• прямі лінії, нормальні до серединної поверхні, залишаються нормальними до серединної поверхні після деформації
• товщина пластини не змінюється впродовж деформації.

Переміщення

Гіпотеза Кірхгофа припускає, що зміщення має вигляд

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

де $x_{1}$ і $x_{2}$  - декартові координати на серединній поверхні недеформованої пластини, $x_{3}$ координата, яка характеризує товщину, $u_{1}^{0},u_{2}^{0}$- площинні переміщення серединної поверхні, $w^{0}$ - переміщення серединної поверхні в напрямку $x_{3}$. Якщо $\varphi _{\alpha }$ кути повороту нормалі до серединної поверхні, тоді у теорії  Кірхгофа–Лове $\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.$

Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)

Співвідношення між деформаціями і переміщеннями

Для випадку, коли напруження в пластині нескінченно малі і повороти нормалі до серединної поверхні становить менше 10°, справедливими є такі співвідношення: 

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Звідси лише ненульові деформації існують в  напрямі площини.

Якщо кути повороту нормалі до серединної поверхні в діапазоні від 10° до 15°, співвідношення між деформаціями і переміщеннями можна апроксимувати використовуючи зсуву відносини можуть бути апроксимовані за допомогою напруження Кармана. Тоді кінематичні припущення теорії Кірхгофа-Лове приводить до таких співвідношень між деформаціями і переміщеннями

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Ця теорія є нелінійною через квадратичні умови співвідношень між деформаціями і переміщеннями.

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги для пластини можуть бути отримані з принципу віртуальної роботи. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини незначні, рівняння рівноваги для ненавантаженої плити матимуть вигляд

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}$

де значення напруження і моментів напругження визначаються як

$N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$

і товщина плити $2h$.  Величина $\sigma _{\alpha \beta }$.

Якщо існує зовнішнє навантаження на пластину  $q(x)$ по нормалі до серединної поверхні і спрямоване у додатньому $x_{3}$ напрямі, принцип віртуальної роботи приводить до рівнянь рівноваги

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}$

Граничні умови

Граничні умови, які необхідні, щоб розв'язати рівняння рівноваги теорії пластин, можуть бути отримані з крайових умов принципу віртуальної роботи.

Для малих деформацій і малих оборотів, граничні умови

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}$

Слід зауважити, що величина $n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$ є ефективною поперечною силою.

Рівняння напруги–деформації

Рівняння напруженя–деформації для лінійної пружної пластини Кірхгофа задано як

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Оскільки $\sigma _{\alpha 3}$ і $\sigma _{33}$ відсутні у рівннях рівноваги, передбачається, що ці величини не мають ніякого впливу на баланс системи і тому ними нехтують.

Зручніше працювати з результантами напруженя і моменту, які входять в рівняння рівноваги. Вони пов'язані з переміщеннями 

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$

і

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.$

Поздовжня жорсткість - це величини

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Жорсткість при згині визначається формулою

$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Ізотропна та однорідна пластина Кірхгофа

Для ізотропної та однорідної пластини, рівняння напружено–деформованого стану

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

Моменти, що відповідають цим напруженням є

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$

Чистий згин

Переміщення $u_{1}^{0}$ і $u_{2}^{0}$ дорівнюють нулю при умові чистого згину. Для ізотропної, однорідної пластини при чистому згині основним рівнянням є

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.$

Індексний запис

$w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.$

У прямих тензорних позначеннях, основним рівнянням є

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.$

Поперечне навантаження

Для поперечно навантаженої пластини без осьових деформацій, що основне рівняння матиме вигляд

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}$

де

$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

Індексний запис

$w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}$

і прямий запис

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.$

У циліндричних координатах $(r,\theta ,z)$,  основне рівняння запишеться як

${\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.$

Ортотропна і однорідна пластина Кірхгофа

Для ортотропної пластини

${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.$

Звідси,

${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}$

і

${\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.$

Поперечне навантаження

Основним рівняння ортотропної пластини Кірхгофа з розподіленим поперечним нвантаженням $q$ на одиницю площі є

$D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q$

де

${\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}$

Динаміка тонких пластин Кірхгофа

Динамічної теорії пластин визначає поширення хвиль в пластинах, а вивчення стоячих хвиль і режимів вібрації.

Основні рівняння

Основними рівняннями динаміки пластин Кірхгофа — Лове є

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

де, для пластини з густиною $\rho =\rho (x)$,

$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}$

і

${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$

На малюнках нижче показано коливання круглої пластини.

• 
  mode k = 0, p = 1
• 
  mode k = 1, p = 2

Ізотропні пластини

Основні рівняння істотно спрощені для ізотропних і однорідних пластин, у яких деформаціями у площині можна знехтувати: 

$D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.$

де $D$ - жорсткість згину пластини. Для однорідної пластини товщиною $2h$,

$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

У прямому записі

$D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.$

Теорія Міндліна–Рейсснера для товстих пластин

В теорії товстих плит, або теорії Раймонд Міндліна і Ерік Рейснера, нормаль до серединної поверхні залишається прямою, але не обов'язково перпендикулярно до серединної поверхні. Якщо $\varphi _{1}$ і $\varphi _{2}$  - кути між серединною поверхнею і віссю $x_{3}$

$\varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}$

Тоді матиме місце гіпотеза Міндліна–Рейсснера:

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

Залежність між деформаціями і переміщеннями

В залежності від кількості обертання нормалей пластини, дві різні апроксимації для напружень можуть бути отримані з основних  кінематичних припущень.

Для малих деформацій і малих оборотів, відношення між деформаціями і переміщеннями для пластин Міндліна–Рейсснера запишеться у вигляді

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Поперечною деформацією, а отже, і напругою зсуву по товщині пластини не нехтують в цій теорії. Однак поперечна деформація є постійною по всій товщині плити. Це не може точним, оскільки поперечна напруга вважається параболічного навіть для пластин з простою геометрією. Для врахування неточності в поперечних деформаціях, а  поперечний коригувальний коефіцієнт ($\kappa$) застосовується так, що правильна кількість внутрішньої енергії передбачається теоретично. Тоді

$\varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)$

Рівняння рівноваги

Рівняння рівноваги мають трохи різні форми залежно від передбачуваної величини згину пластини. Для ситуації, коли деформації і обертання пластини є малими, рівняння рівноваги для пластини Міндліна–Рейсснера 

${\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}$

Рівнодіючі поперечні сил в наведених вище рівняннях визначаються як

$Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.$

Крайові умови

Граничні умови позначаються у термінах граничних умов принципу віртуальної роботи.

Якщо єдиною зовнішньою силою є вертикальна сила на верхній поверхні пластини, граничні умови

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}$

Визначальні співвідношення

Рівняння напруження–деформації для лінійної пружної пластини Міндліна–Рейсснера можна подати у вигляді

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}$

Оскільки $\sigma _{33}$ відсутнє у рівнянні рівноваги, неявно припускається, що воно не має ніякого впливу на баланс системи і ним можна знехтувати знехтувати. Це припущення називається припущенням щодо площинного напруження. Рівняння, що залишились для ортотропного матеріалу у матричній формі можна записати як

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Тоді,

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$

і

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}$

У термінах поперечного зміщення

${\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}$

Поздовжня жорсткість - це величина

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Жорсткість при згині визначається як

$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Ізотропні та однорідні пластини Міндліна–Рейсснера 

Для рівномірно щільної, однорідної і ізотропної пластини, відношення напруги і деформації у площині пластини можна подати у вигляді

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

де $E$ - модуль Юнга, $\nu$ - коефіцієнт Пуассона і $\varepsilon _{\alpha \beta }$ деформації у площині. Поперечні напруження  і деформації по товщині  пластини пов'язані рівняннями

$\sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}$

where $G=E/(2(1+\nu ))$ is the shear modulus.

Визначальні співвідношення

Співвідношення між результуючим напруженням і узагальненими переміщеннями для ізотропної пластини Міндліна–Рейсснера:

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,$

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,$

і

${\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.$

Жорсткість при згині визначається як 

$D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

Для плити товщиною $H$, жорсткість при згині обчислюють за формулою

$D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.$

де $h={\frac {H}{2}}$

Основні рівняння

Якщо знехтувати розширенням пластини у площині, основні рівння приймуть вигляд

${\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}$

У термінах узагальнених деформацій $w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$, три основні рівняння

${\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}$

Граничні умови уздовж країв прямокутної пластини

${\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}$

Теорія Рейсснера–Штайна для ізотропних консольних пластин

Загалом, точні розв'язки для консольної пластини з використанням теорії пластин використовуються і можуть бути взяті з літератури. Рейснер і Штайн запропонували спрощену теорію для консольних пластин, що є поліпшенням у порівнянні з більш старими теоріями, як, наприклад, теорія пластин Сен-Венана.

Теорія Рейсснера-Штайна передбачає, що поперечний зсув можна подати у вигляді

$w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.$

Основні рівняння для пластини зводяться до звичайних диференціальних рівнянь:

${\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}$

де

${\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}$

В $x=0$оскільки балка защемлена, граничні умови

$w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.$

Крайові умови у $x=a$ 

${\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}$

де

${\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}$

Derivation of Reissner–Stein cantilever plate equations

The strain energy of bending of a thin rectangular plate of uniform thickness $h$ is given by $U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left[\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y$ where $w$ is the transverse displacement, $a$ is the length, $b$ is the width, $\nu$ is the Poisson's ratio, $E$ is the Young's modulus, and $D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu )}}.$ The potential energy of transverse loads $q(x,y)$ (per unit length) is $P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.$ The potential energy of in-plane loads $n_{x}(x,y)$ (per unit width) is $P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.$ The potential energy of tip forces $q_{x}(y)$ (per unit width), and bending moments $m_{x}(y)$ and $m_{xy}(y)$ (per unit width) is $P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.$ A balance of energy requires that the total energy is $W=U-(P_{q}+P_{n}+P_{t})\,.$ With the Reissener–Stein assumption for the displacement, we have $U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left[12\left({\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+b^{2}\left({\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+24(1-\nu )\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x\,,$ $P_{q}=\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yq(x,y)\,{\text{d}}y\right)\theta _{x}\right]\,dx\,,$ ${\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {dw_{x}}{dx}}\right)^{2}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yn_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right.\\&\left.\qquad \qquad +\left(\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]{\text{d}}x\,,\end{aligned}}$ and ${\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left[\int _{-b/2}^{b/2}\left(yq_{x}(y)+m_{xy}(y)\right)\,{\text{d}}y\right]\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}$ Taking the first variation of $W$ with respect to $(w_{x},\theta _{x},x)$ and setting it to zero gives us the Euler equations ${\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}$ and ${\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}$ where ${\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}$ Since the beam is clamped at $x=0$, we have $w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.$ The boundary conditions at $x=a$ can be found by integration by parts: ${\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}$ where ${\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}$

Див. також

• Напруження
• Теорія пружності
• Деформація згину
• Теорія балки Ейлера-Бернуллі
• Теорія балки Тимошенка