Теорема Шмідта

Теорема Шмідта — теорема про властивості розширення локально скінченної групи.

Формулювання

Розширення $G$ локально скінченної групи $A$ за допомогою локально скінченної групи $G/A$ саме локально скінченне.

Доведення

Перевіримо, що кожна скінченна множина $M$ з $G$ породжує скінченну підгрупу. За умовою фактор-група $gr(M,A)/A$ скінченна. Збільшивши, якщо потрібно, множину $M$, вважатимемо, що вона замкнута відносно обернених елементів та містить представників усіх суміжних класів $gr(M,A)$ за $A$. Тоді для будь-яких $x,y\in M$$xy={\overline {xy}}a_{x,y}$, де ${\overline {xy}}\in M$, $a_{x,y}\in A$ . Звідси випливає, що будь-який добуток елементів із $M$ можна записати як добуток деякого елемента з $M$ на добуток деяких $a_{x,y}$. Оскільки всілякі $a_{x,y}$ породжують скінченну підгрупу, все доведено.

Література

• Каргаполов, М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М. : Наука, 1972. — С. 208.