Теорема Кіршбрауна

Теорема Кіршбрауна про продовження (іноді називають теоремою Валентайна) — теорема про існування продовження ліпшицевої функції, визначеної на підмножині евклідового простору, на весь простір.

Формулювання

Нехай $S$ — довільна підмножина евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$ , тоді довільне коротке відображення $f:S\to \mathbb {R} ^{m}$ можна продовжити до короткого відображення ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ; інакше кажучи, існує коротке відображення ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ таке, що ${\bar {f}}|_{S}=f$ .

Варіації та узагальнення

Природно узагальнюється на:
- відображення з підмоножини гільбертового простору в гільбертів простір;
- відображення з підмоножини простору Лобачевського в простір Лобачевського тієї ж кривини
Аналогічний результат для відображення між сферами хибний, проте теорема залишається істинною для:
- відображення з підмоножини сфери в півсферу тієї ж кривини;
- відображення з підмоножини сфери у сферу тієї ж кривини не меншої розмірності.
Аналогічний результат для банахових просторів є хибним.

Метрична геометрія

Узагальнення теореми Кіршбрауна на метричні простори дали Ленг та Шредер^[1]^[2].
Будь-яке коротке відображення на підмножині довільного метричного простору зі значеннями в ін'єктивному просторі допускає коротке продовження на весь простір. Це дає інше узагальнення теореми на метричні простори. До ін'єктивних просторів належать дійсні прямі та метричні дерева, а також $L^{\infty }$ -простори.
Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо $X$ — метричний простір із властивістю подвоєння та $A\subset X$ і $V$ — банахів простір, то будь-яке $L$ -ліпшицеве відображення $A\to V$ продовжується до $C\cdot L$ -ліпшицевого відображення $X\to V$ , де стала $C$ залежить лише від параметра у властивості подвоєння^[3].

Історія

Доведено в дисертації Мойжеша Кіршбрауна (захищено 1930)^[4]. Пізніше цю теорему передовів Фредерік Валентайн^[5].

Див. також

Теорема Тітце про продовження

Примітки

↑ Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535—560.
↑ Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.
↑ F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.

[1] Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535—560.

[2] Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.

[3] 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

[4] M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.

[5] F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]