Теорема Крейна–Рутмана

У функціональному аналізі теорема Крейна–Рутмана є узагальненням теореми Перрона–Фробеніуса для нескінченновимірних банахових просторів. Її було доведено Крейном і Рутманом у 1948 році.

Формулювання теореми

Нехай $X$ — банахів простір, а $K\subset X$ — опуклий конус, такий, що $K\cap -K=\{0\}$, а $K-K$ є щільним в $X$, тобто замиканням множини $\{u-v\mid u,v\in K\}=X$. Опуклий конус $K$ також відомий як загальний конус. Нехай $T\colon X\to X$ — ненульовий компактний оператор і вважаємо, що він додатний, тобто $T(K)\subset K$ і що його спектральний радіус $r(T)$ строго більше нуля.

Тоді $r(T)$ є власним значенням оператора $T$ з додатним власним вектором, що означає, що існує таке $u\in K\setminus \{0\}$, що $T(u)=r(T)u$.

Теорема де Пагтера

Якщо вважати додатний оператор $T$ ідеальним незвідним, а саме таким, що не існує такого ідеалу $J\neq 0$ з простору $X$, що $TJ\subset J$, тоді теорема де Пагтера стверджує, що $r(T)>0$.

Тому для ідеальних незвідних операторів припущення $r(T)>0$ не потрібне.

Див.також

• Компактний оператор
• Спектральна теорема