Теорема Коші про середнє значення

Теорема, що належить французькому математикові Огюстену Коші й називається узагальненою теоремою про скінченні прирости. Вона узагальнює теорему Лагранжа.

Формулювання теоремиРедагувати

Якщо кожна з двох функцій   та   неперервна на проміжку   та диференційовна в усіх внутрішніх точках цього проміжку і якщо, окрім того, похідна   відмінна від нуля скрізь у проміжку  , то на цьому проміжку знайдеться точка   така, що має місце формула:

 .

Формулу (1) називають узагальненою формулою скінченних приростів, або формулою Коші.

ДоведенняРедагувати

Перш за все покажемо, що  . І справді, якщо б це було не так, то для функції   на проміжку   були б виконані умови теореми Ролля. Тоді б на проміжку   знайшлася б точка   така, що  . Останнє суперечить умові теореми. Отже,  , і ми маємо право розглянути наступну допоміжну функцію:

 

В силу умов, які накладено на функції   та  , функція   неперервна на проміжку   та знайдеться точка   така, що

 

Маючи на увазі те, що

 ,

і використовуючи рівність (3) отримаємо:

 

Враховуючи, що   з рівності (4) отримуємо формулу Коші:

 

Теорему доведено.

ЗауваженняРедагувати

Формула Лагранжа є частковим випадком формули Коші (1), коли  .

У формулі (1) зовсім не обов'язково вважати, що  

Прості застосуванняРедагувати

Нехай f є неперервна функція на дійсніх числах яка визначена на випадковому інтервалі l. Якщо похідна функції f у кожної внутрішнії точки інтервалу l їснує і дорівнює нулю, f є постійна.

Доведення: візьмем на себе, що похідна функції f у кожної внутрішнії точки інтервалу l існує і дорівнює нулю. Нехай (a,b) є випадковій інтервал в l. Згідно з теоремой про середнє значення існує точка с в (a,b) така що:

 
Це означає, що f(a)=f(b). Так f є постійна в кожної точки інтервалу l, навіть якщо l є нескінченний.

Геометрична інтрепретація теоремиРедагувати

 
Геометричне значення теореми Коші

F(t) є функція ℝ→ℝ×ℝ: F(t)=(f(t),g(t), t[a;b]. Існує деяка дотична до цієй функції така, що вона паралельна до прямої [(f(a);g(a)), (f(b);g(b))]

Узагальнення щодо визначникуРедагувати

Якщо f(x), g(x) і h(x) є диференційовна функція на (a,b), яка їснує на [a,b], тоді визначимо

 

Тоді їснує таке с ∈ (a,b), що D'(c)=0.

Зауважимо, що  

І якщо ми замінимо h(x)=1, це буде еквівалентно звичайній теоремі.

Доведення: функції D(a) і D(b) є визначникі матриць, які мають два однакових рядка, тому D(a)=D(b)=0. Згідно з теоремою Ролля їснує таке с∈ (a,b), що D'(c)=0

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати