Теорема Гаусса

Теорема Гаусса — один з основних законів електродинаміки, що входить в систему рівнянь Максвелла.

У Міжнародній системі величин (ISQ) теорема Гаусса має вигляд:

$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =Q$,

де D — вектор електричної індукції, $Q$ — сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

$Q=\int _{V}\rho dV,$

де $\rho$ — густина заряду.

У гауссовій системі СГСГ теорема Гаусса формулюється

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =4\pi Q$,

де $\mathbf {E}$ — напруженість електричного поля.

Теорема Гаусса і закон Кулона

Теорема Гаусса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гауссом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гаусса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гаусса.

Вивід закону Кулона

Для того, щоб отримати закон Кулона з теореми Гаусса, розглядають точковий електричний заряд $q$ у вакуумі. На поверхні сфери радіусом $r$, в центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції $\mathbf {D}$ дорівнює напруженості електричного поля $\mathbf {E}$ (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гаусса:

$E4\pi r^{2}=4\pi q\,$.

Звідси основне твердження закону Кулона:

$E={\frac {q}{r^{2}}}$

В системі ISQ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$, де $\varepsilon _{0}$ — електрична стала. Теорема Гауса записується:

$\varepsilon _{0}E4\pi r^{2}=q$.

Звідси:

$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}$.

Теорема Гаусса в диференціальній формі

Теорему Гаусса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =\int _{V}{\text{div}}\;\mathbf {E} dV=4\pi \int _{V}\rho dV$.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

${\text{div}}\;\mathbf {E} =4\pi \rho$.

В системі ISQ цей вираз має вигляд:

${\text{div}}\;\mathbf {D} =\rho$

Теорема Гаусса для полів у середовищі

Теорема Гаусса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho dV$,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

$\rho =\rho _{b}+\rho _{f}$,

де $\rho _{b}$ — густина зв'язаних зарядів, $\rho _{f}$ — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: $\rho _{b}=-{\text{div}}\mathbf {P}$.

Тоді теорема Гаусса записується у вигляді

$\int _{S}(\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} )\cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$.

Вводячи вектор електричної індукції

$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$,

отримуємо теорему Гауса для діелектричних середовищ:

$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$,

або в диференціальній формі

${\text{div}}\;\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$.

Магнітне поле

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

$\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} =0.\,$

Див. також

• Теорема Остроградського-Гаусса

Джерела

• Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.