Відкрити головне меню

Теорема Вітні про вкладення стверджує:

Довільний гладкий -вимірний многовид дозволяє гладке вкладення у -вимірний евклідів простір.

Цей результат оптимальний, якщо, наприклад,  — степінь двійки, то -вимірний проективний простір неможливо вкласти в -вимірний евклідів простір.

Про доведенняРедагувати

Випадки   і   «робляться руками». У випадку   легко бачити, що гладке відображення загального положення   є іммерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні.

Трюк ВітніРедагувати

Нехай   є точкою самоперетину і   такі, що  . З'єднаємо   та   гладою кривою   Тоді   є замкнутою кривою в  . Побудуємо відображення   з границею  .

У загальному положенні   є вкладення (саме тут ми використовуємо те, що  ).

Тоді можна продеформувати многовид   вздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, уявивши картинку.

ЛітератураРедагувати