Теорема Адамара про три прямі

Теоремою Адамара про три прямі у комплексному аналізі називається твердження про поведінку голоморфних функцій у регіонах обмежених паралельними прямими на комплексній площині. Теорема названа на честь Жака Адамара.

Твердження

Нехай f є голоморфною і обмеженою функцією в області $B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times \mathbb {R} \}$ і є неперервною в замиканні ${\overline {B}}$.

Тоді можна ввести функцію : $M:x\mapsto \sup _{y}|f(x+iy)|$.

Тоді $\ln(M(x))$ є опуклою функцією на [a, b], іншими словами :

$\forall t\in [0,1],\ a\leqslant c<d\leqslant b,x=tc+(1-t)d$, виконується нерівність $M(x)\leq M(c)^{t}M(d)^{1-t}.$

Доведення

Нижче подано доведення нерівності для a, b. Подібно можна довести твердження для довільного відрізка, що міститься у [a, b].

Введемо функцію : $F:z\mapsto f(z)M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}M(b)^{\frac {z-a}{a-b}}$. Вона є голоморфною на $B$. Якщо $z=x+iy$ то

$|M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}|=M(a)^{\frac {x-b}{b-a}}=M(a)^{-t},$.

де $t={\frac {b-x}{b-a}}.$ Так само

$|M(b)^{\frac {z-a}{b-a}}|=M(b)^{t-1}$.

Якщо $z=a+iy$ то з попередніх формул $|M(z)|=|f(z)|M(a)^{-1}\leqslant 1.$

Також, якщо $z=b+iy$ то з попередніх формул $|M(z)|=|f(z)|M(b)^{-1}\leqslant 1.$

Тобто на границі області $B$ в усіх точках $|M(z)|\leqslant 1.$ Якщо ця властивість виконується також в усіх точках області $B,$ то звідси випливає

$\forall z=x+iy\in {\overline {B}},|f(z)|\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}$, де $t={\frac {b-x}{b-a}},$ що і є твердженням теореми.

Для доведення розглянемо послідовність функцій:

$F_{n}(z)=F(z)e^{((z-a)/(b-a))^{2}/n}e^{-1/n}.$

Ці функції прямують до 0 якщо |z| прямує до безмежності і також |F_n| ≤ 1 на границі області $B.$ Згідно принципу максимуму модуля звідси випливає також |F_n| ≤ 1 на всій області $B.$. Але $\lim _{n\to \infty }F_{n}(z)=F(z),\ \forall z\in {\bar {B}}.$ Тому $F(z)\leqslant 1,\ \forall z\in {\bar {B}},$ що завершує доведення.

Див. також

• Теорема Адамара про три кола

Література

• Garling, D. J. H. (2007). Inequalities: A Journey into Linear Analysis. Cambridge Univercity Press. с. 135-136. ISBN 0-521-69973-8.
• Hadamard, Jacques (1896), Sur les fonctions entières (PDF), Bull.Soc. Math. France, 24: 186—187
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of modern mathematical physics, Volume 2: Fourier analysis, self-adjointness, Elsevier, с. 33—34, ISBN 0-12-585002-6
• Ullrich, David C. (2008), Complex made simple, Graduate Studies in Mathematics, т. 97, American Mathematical Society, с. 386—387, ISBN 0-8218-4479-2