Твердження Е. Дейкстра
ред.
Якщо в трикутнику кути
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
лежать навпроти сторін довжиною a, b, c , відповідно, тоді
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
=
sgn
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
,
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}
де
sgn
x
{\displaystyle \operatorname {sgn} \,x}
— signum-функція .
Розглянемо довільний трикутник ABC .
Дейкстра побудував дві додаткові лінії CH і CK так що
∠
B
C
K
=
∠
C
A
B
{\displaystyle \angle BCK=\angle CAB}
і
∠
A
C
H
=
∠
C
B
A
{\displaystyle \angle ACH=\angle CBA}
, що робить трикутники ABC, ACH і BCK подібними і кути AHC і BKC рівними.
Ми маємо випадок
α
+
β
<
γ
{\displaystyle \alpha +\beta <\gamma }
, в якому трикутники CKB і AHC , непересічні області і не охоплюють весь
△
A
C
B
{\displaystyle \triangle ACB}
; позначаючи площі
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle XYZ}
як "XYZ " отримаємо наступний випадок
C
K
B
+
A
H
C
<
A
C
B
.
{\displaystyle CKB+AHC<ACB.}
У випадку
α
+
β
=
γ
{\displaystyle \alpha +\beta =\gamma }
, H і K збігаються і ми маємо
C
K
B
+
A
H
C
=
A
C
B
{\displaystyle CKB+AHC=ACB}
і у випадку
α
+
β
>
γ
{\displaystyle \alpha +\beta >\gamma }
, де два трикутники перетинаються, маємо
C
K
B
+
A
H
C
>
A
C
B
.
{\displaystyle CKB+AHC>ACB.}
Підсумувавши, отримаємо
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
=
sgn
(
C
K
B
+
A
H
C
−
A
C
B
)
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(CKB+AHC-ACB).}
Три площі цих подібних трикутників мають співвідношення як квадрати відповідних сторін, зокрема
C
K
B
a
2
=
A
H
C
b
2
=
A
C
B
c
2
=
k
>
0
,
k
>
0.
{\displaystyle {\frac {CKB}{a^{2}}}={\frac {AHC}{b^{2}}}={\frac {ACB}{c^{2}}}=k>0,\;k>0.}
Звідси,
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
=
sgn
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}
Отже, ми довели теорему
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
=
sgn
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}
Рівність для трапеції
ред.
Розглянемо
△
B
O
C
{\displaystyle \triangle BOC}
та
△
D
O
A
{\displaystyle \triangle DOA}
.
З подібності трикутників маємо відношення
B
C
D
A
=
B
O
D
O
=
C
O
A
O
=
k
.
{\displaystyle {\frac {BC}{DA}}={\frac {BO}{DO}}={\frac {CO}{AO}}=k.}
Нехай
A
C
=
d
1
{\displaystyle AC=d_{1}}
, тоді
C
O
A
O
=
d
1
−
A
O
A
O
=
k
;
A
O
=
d
1
k
+
1
{\displaystyle {\frac {CO}{AO}}={\frac {d_{1}-AO}{AO}}=k;\;AO={\frac {d_{1}}{k+1}}}
.
Нехай
B
D
=
d
2
{\displaystyle BD=d_{2}}
. Аналогічно
D
O
=
d
2
k
+
1
{\displaystyle DO={\frac {d_{2}}{k+1}}}
.
За теоремою Дейкстра
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
=
sgn
(
A
O
2
+
O
D
2
−
A
D
2
)
=
sgn
(
d
1
2
(
k
+
1
)
2
+
d
2
2
(
k
+
1
)
2
−
d
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(AO^{2}+OD^{2}-AD^{2})=\operatorname {sgn} \left({\frac {d_{1}^{2}}{(k+1)^{2}}}+{\frac {d_{2}^{2}}{(k+1)^{2}}}-d^{2}\right).}
Відомо, що
d
1
2
+
d
2
2
=
2
b
d
+
a
2
+
c
2
{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2bd+a^{2}+c^{2}}
.
Виразимо d :
B
C
A
D
=
k
=
b
d
;
k
+
1
=
b
d
+
1
=
b
+
d
d
⟹
d
=
b
+
d
k
+
1
{\displaystyle {\frac {BC}{AD}}=k={\frac {b}{d}};\;k+1={\frac {b}{d}}+1={\frac {b+d}{d}}\Longrightarrow d={\frac {b+d}{k+1}}}
.
Підставимо:
sgn
(
2
b
d
+
a
2
+
c
2
(
k
+
1
)
2
−
(
b
+
d
)
2
(
k
+
1
)
2
)
=
sgn
(
2
b
d
+
a
2
+
c
2
−
b
2
−
2
b
d
−
d
2
(
k
+
1
)
2
)
=
{\displaystyle \operatorname {sgn} \left({\frac {2bd+a^{2}+c^{2}}{(k+1)^{2}}}-{\frac {(b+d)^{2}}{(k+1)^{2}}}\right)=\operatorname {sgn} \left({\frac {2bd+a^{2}+c^{2}-b^{2}-2bd-d^{2}}{(k+1)^{2}}}\right)=}
=
|
k
+
1
≠
0
|
=
sgn
(
a
2
+
c
2
−
b
2
−
d
2
)
=
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
.
{\displaystyle =|k+1\neq 0|=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma ).}
Оскільки
γ
=
α
1
+
β
1
{\displaystyle \gamma =\alpha _{1}+\beta _{1}}
одержимо наступну рівність
sgn
(
α
+
β
−
γ
)
=
sgn
(
α
+
β
−
α
1
−
β
1
)
=
sgn
(
a
2
+
c
2
−
b
2
−
d
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\alpha _{1}-\beta _{1})=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}).}
Що й треба було довести.
Якщо у твердженні Дейкстра покласти
α
+
β
=
γ
=
π
/
2
{\displaystyle \alpha +\beta =\gamma =\pi /2}
, то утвориться прямокутний трикутник і згідно теореми
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.
Остання рівність всім відома як теорема Піфагора .
Зокрема, в трапеції із перпендикулярними діагоналями для бічних сторін виконується рівність
a
2
+
c
2
=
b
2
+
d
2
.
{\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}