Степенева асоціативність

Степева асоціативність — одна з ослаблених форм асоціативності, використовується в абстрактній алгебрі.

Алгебрична структура називається степенево-асоціативною відносно бінарної операції $*$ якщо її підсистема породжена довільним елементом є асоціативною відносно $*$ .

Тобто, якщо довільний елемент $x$ множиться на себе декілька разів, то результат не залежить від порядку операцій.

Тому можливо ввести нотацію піднесення до степеня:

x^{1}=x,\quad x^{n+1}=x^{n}*x

без уточнення правил виконання операції.

Ця умова сильніша за $\forall x:\;(xx)x=x(xx)$ , але слабша за асоціативність.

Наприклад:

всі 5 варіантів четвертого степеня $((xx)x)x=(x(xx))x=x((xx)x)=x(x(xx))=(xx)(xx)$ .
всі варіанти четвертого степеня записані рекурсивно: $x^{3}x=xx^{3}=x^{2}x^{2}$ .

Інша ослаблена форма асоціативності — альтернативність; вона є сильнішою за степеневу асоціативність тільки при деяких додаткових обмеженнях.

Джерела ред.