Стала простих чисел

Ста́ла прости́х чи́сел — це дійсне число $\rho$, $n$-та двійкова цифра якого дорівнює 1, якщо $n$ є простим, і 0, якщо n — складене або 1.

Стала простих чисел
Числове значення	0,414682509851
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Іншими словами, $\rho$ є просто числом, двійковий розклад якого відповідає індикаторній функції множини простих чисел. Тобто

$\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}$

де $p$ означає просте число, а $\chi _{\mathbb {P} }$ є характеристичною функцією простих чисел.

Початкові знаки десяткового подання числа ρ: $\rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots$ (послідовність A051006 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Початкові знаки двійкового подання: $\rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (послідовність A010051 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Ірраціональність

Легко показати, що число $\rho$ ірраціональне. Щоб побачити це, припустимо, що воно раціональне.

Позначимо $k$-й знак двійкового подання $\rho$ через $r_{k}$. Тоді, оскільки $\rho$ за припущенням раціональне, повинні існувати додатні числа $N$ і $k$, такі, що $r_{n}=r_{n+ik}$ для всіх $n>N$ і всіх $i\in \mathbb {N}$.

Оскільки простих чисел нескінченно багато, ми можемо вибрати просте $p>N$. За визначенням ми знаємо, що $r_{p}=1$. Як було зазначено вище, має виконуватися $r_{p}=r_{p+ik}$ для будь-якого $i\in \mathbb {N}$. Розглянемо випадок $i=p$. Ми маємо $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$, оскільки $p(k+1)$ складене, бо $k+1\geq 2$. Оскільки $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$, ми маємо констатувати, що $\rho$ — ірраціональне.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Стала простих чисел(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.