Розв'язки Йоста

Розв'язки Йоста — розв'язки одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом, що спадає до нуля на нескінченності, у випадку неперервного спектру енергій. Часто використовується в задачах на розсіяння, а також в теорії солітонів (метод оберненої задачі).

Математичне означення

В одновимірному випадку гамільтоніан має вигляд (при приведенні до безрозмірних змінних):

$H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+u(x),\quad x\in \mathbb {R} ,$

де потенціал $u(x)$ — локально інтегровна функція, визначена на множині дійсних чисел.

В випадку неперервного спектру маємо:

$-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x),$

де $k^{2}=\lambda$ — власні значення гамільтоніана (енергія), $\psi (x)$ — власні функції (хвильова функція).

Якщо на потенціал накладені такі умови:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x||u(x)|\mathrm {d} x<\infty ,$ — $u(x)$ спадає на нескінченності швидше ніж $x^{-2}$;

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|u(x)|\mathrm {d} x<\infty ,$ — $u(x)$ не має сингулярностей сильніше $x^{-1}$;

тоді для дійсних значень $k$ введемо розв'язки $f_{\pm }(x,k)$ які задовольняють граничній умові:

$\lim _{x\to \pm \infty }f_{\pm }(x,k)\cdot e^{\mp ikx}=1,$

дані розв'язки названі розв'язками Йоста на честь швейцарського фізика Реса Йоста який перший запропонував їх.

Функції тільки від $k$, тобто визначені в конкретній точці простору (часто в нулі чи на нескінченності), називають функціями Йоста, хоча багато авторів вживають обидва вирази на позначення $f_{\pm }(x,k)$.

Для всіх $k$ (комплексних), з накладеною умовою $\mathrm {I} m\,k\geq 0$, і для $u(x)$, який задовольняє умови накладені вище, існують розв'язки (і вони єдині) рівняння Шредінгера які задовольняють такі інтегральні рівняння:

$f_{+}(x,k)=e^{ikx}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{+}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,$

$f_{-}(x,k)=e^{-ikx}-\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{-}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,$

причому дані розв'язки неперервні по $k$ при $\mathrm {I} m\,k\geq 0$ і аналітичні при $\mathrm {I} m\,k>0$.

Рівняння для розв'язків Йоста можна отримати безпосередньо з граничних умов і рівняння Шредінгера за допомогою функції Гріна в вигляді:

$G(x,\xi ,k)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}},&\xi <x\\0,&\xi >x\end{array}}\right..$

Використання

Багато інших задач приводиться до одновимірного рівняння Шредінгера. Зокрема задача розсіяння на центральному потенціалі в трьохвимірному просторі зводиться до такого рівняння для радіальної функції в S-стані:

$-{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}\psi (r)+u(r)\psi (r)=k^{2}\psi (r),$.

В такому випадку умови на потенціал відмінні від наведених вище і мають вигляд:

$\int \limits _{0}^{\infty }r|u(r)|\mathrm {d} r<\infty ,$ — $u(r)$ при $r=0$ не має сингулярності сильніше $x^{-2}$;

$\int \limits _{0}^{\infty }r^{2}|u(r)|\mathrm {d} r<\infty ,$ — $u(r)$ спадає на нескінченності швидше ніж $x^{-3}$;

Розв'язок Йоста задовольняє рівняння: : $\lim _{r\to \infty }f(r,k)\cdot e^{ikr}=1,$ при цьому:

$f(x,k)=e^{-ikr}+\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {\sin k(r'-r)}{k}}u(r')f(r',k)\mathrm {d} r'.$.

Функція $f(x,-k)$ теж є розв'язком рівняння, і цей розв'язок є лінійно незалежним від $f(x,k)$.

Функція Йоста визначена як $f(k)=f(0,k)$, грає важливу роль в теорії розсіяння, зокрема через неї виражається матриця розсіяння $S(k)$:

$S(k)={\frac {f(k)}{f(-k)}}$.

Джерела

1. Додд, Р., Эйлбек, Дж., Гиббон, Дж., Моррис, X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М. : Мир, 1988. — 694 с.
2. Ситенко А. Г. Теория рассеяния. — К. : Вища школа, 1975. — 256 с.
3. Новокшенов, В. Ю. Введение в теорию солитонов. — Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. — 96 с. — ISBN 5-93972-100-1.