Вікіпедія

Теорема Абеля — Руффіні: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
мНемає опису редагування
Рядок 1:
'''Теорема Абеля—Руффіні''' стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в [[радикал (математика)|радикалах]]. Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає [[корені многочлена]] п'ятого чи вищого степеня.
 
[[Основна теорема алгебри]] стверджуєдоводить, що рівняння <math>\ n</math>-го степеня має <math>\ n</math> [[комплексні числа|комплексних коренів]]. Хоча над над іншими [[поле (алгебра)|полями]] цих коренів може і не існувати.
 
Але над над іншими полями цих коренів може і не існувати.
 
Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає [[теорія Галуа]].
Рядок 15 ⟶ 13:
При <math>n \geq 5</math> група перестановок <math>\ S_n</math> не є [[розв'язна група|розв'язною.]]
 
=== Доведення =теореми ==
ЯкщоНехай <math>\ y_1</math> — [[дійсне число]] [[трансцендентні числа|трансцендентне]] над полем [[раціональні числа|раціональних чисел]] <math>\Q</math>, та <math>\ y_2</math> — трансцендентне над <math>\Q(y_1)</math>, і так далі до <math>\ y_5</math> що трансцендентне над <math>\Q(y_1, y_2, y_3, y_4)</math>. Позначимо <math>\ E = \Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5),</math> тоді:
 
Позначимо <math>\ E = \Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5),</math> тоді:
:<math>
f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].
</math>
 
:<math>f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].</math>

Відкривши дужки, отримаємо що <math>\ f(x)</math> є [[симетрична функція|симетричною функцією]] відносно <math>\ y_n,</math> зоскільки коефіцієнтами многочлена будуть:
 
:<math>\ s_1 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5</math>
Рядок 29 ⟶ 27:
:<math>\ s_5 = y_1y_2y_3y_4y_5.</math>
 
Кожна перестановка <math>\ \sigma</math> групи <math>\ S_5</math> означає автоморфізм <math>\ \sigma'</math> на <math>\ E</math> що залишає <math>\Q</math> нерухомим та переставляє <math>\ y_n.</math>. Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже <math>\ E</math> також є нерухомим, отже утворює групу Галуа
:<math>\ |G(E/F)| = |S_5|=5!</math>
 
Єдиним розкладом <math>\ S_5</math> є
:<math>\ S_5 \ge A_5 \ge \{e\}</math> (де <math>\ A_5</math> — [[альтернативна група]]).
 
Єдиним розкладом <math>\ S_5</math> є <math>\ S_5 \ge A_5 \ge \{e\}</math> (де <math>A_5</math> — [[альтернативна група]]). [[Фактор-група]] <math>\ A_5/\{e\}</math> (ізоморфна самій <math>\ A_5</math>) не є [[абелева група|абелевою групою]], тому <math>\ S_5</math> не є розв'язною. ▼
 
== Див. також ==
* [[Квадратне рівняння]]
* [[Кубічне рівняння]]
*[[Рівняння четвертого степеня]]
 
== Джерела ==
▲Єдиним розкладом <math>\ S_5</math> є <math>\ S_5 \ge A_5 \ge \{e\}</math> (де <math>A_5</math> — [[альтернативна група]]). [[Фактор-група]] <math>A_5/\{e\}</math> (ізоморфна самій <math>A_5</math>) не є [[абелева група|абелевою групою]], тому <math>S_5</math> не є розв'язною.
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{ван.дер.Варден.Алгебра}}
 
[[Категорія:Теорія Галуа]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Теорема_Абеля_—_Руффіні