Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах — для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).

Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.


Історія

ред.
 
Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в його доведенні були прогалини. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа

ред.

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок   коренів многочленів.

При   група перестановок   не є розв'язною.

Доведення теореми

ред.

Нехай

  — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел  ,
  — трансцендентне над розширенням  , і так далі до
  — трансцендентне над  .

Позначимо   тоді:

 

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що   є симетричною функцією відносно   оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

 
 

і так далі до

 

Кожна перестановка   групи   означає автоморфізм   на   що залишає   нерухомим та переставляє   Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже   також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

 

Єдиним розкладом   є

  (де   — альтернативна група).

Факторгрупа   (ізоморфна самій  ) не є абелевою групою, тому   не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівнянь

ред.

Див. також

ред.

Посилання

ред.
  • Rosen, Michael I. (1995). Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree (PDF). The American mathematical monthly. 102 (6): 495—505. (англ.)
  • Short proof of Abel's theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved на YouTube (англ.)

Література

ред.