Теорема Абеля — Руффіні
Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах. Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає корені многочлена п'ятого чи вищого степеня.
Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів. Хоча над іншими полями цих коренів може і не існувати.
Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.
ІсторіяРедагувати
В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті. Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.
Теорія ГалуаРедагувати
Група Галуа описує групи перестановок коренів многочленів.
При група перестановок не є розв'язною.
Доведення теоремиРедагувати
Нехай — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел , та — трансцендентне над , і так далі до що трансцендентне над .
Позначимо тоді:
Відкривши дужки, отримаємо що є симетричною функцією відносно оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:
і так далі до
Кожна перестановка групи означає автоморфізм на що залишає нерухомим та переставляє Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже також є нерухомим, отже утворює групу Галуа
Єдиним розкладом є
- (де — альтернативна група).
Факторгрупа (ізоморфна самій ) не є абелевою групою, тому не є розв'язною.
Розв'язувані типи рівняньРедагувати
Див. такожРедагувати
ПосиланняРедагувати
- Rosen, Michael I. (1995). Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree. The American mathematical monthly 102 (6): 495–505. (англ.)
- Short proof of Abel's theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved на сайті YouTube (англ.)
ЛітератураРедагувати
- Jean-Pierre Tignol. Galois' Theory Of Algebraic Equations. — World Scientific Publishing Company, 2001. — 348 с. — ISBN 978-9810245412. (англ.)
- Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3. (рос.)
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с.(рос.)