Теорема Абеля — Руффіні
Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах — для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).
Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:
Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.
Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.
Історія
ред.В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.
Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в його доведенні були прогалини. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.
Теорія Галуа
ред.Сучасне доведення використовує теорію Галуа.
Група Галуа описує групи перестановок коренів многочленів.
При група перестановок не є розв'язною.
Доведення теореми
ред.Нехай
- — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел ,
- — трансцендентне над розширенням , і так далі до
- — трансцендентне над .
Позначимо тоді:
Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що є симетричною функцією відносно оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:
і так далі до
Кожна перестановка групи означає автоморфізм на що залишає нерухомим та переставляє Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже також є нерухомим, отже утворює групу Галуа
Єдиним розкладом є
- (де — альтернативна група).
Факторгрупа (ізоморфна самій ) не є абелевою групою, тому не є розв'язною.
Розв'язувані типи рівнянь
ред.Див. також
ред.Посилання
ред.- Rosen, Michael I. (1995). Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree (PDF). The American mathematical monthly. 102 (6): 495—505. (англ.)
- Short proof of Abel's theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved на YouTube (англ.)
Література
ред.- Jean-Pierre Tignol. Galois' Theory Of Algebraic Equations. — World Scientific Publishing Company, 2001. — 348 с. — ISBN 978-9810245412. (англ.)
- Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3. (рос.)
- Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)