Теорема Абеля — Руффіні

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах (для коренів многочлена не існує формули, що використовує чотири арифметичні дії та корені довільного ступеня).

Наслідком із доведення слідує існування рівнянь п'ятого і вище ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах, найпростішими нерозв'язними в радикалах рівняннями є:

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.


ІсторіяРедагувати

 
Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія ГалуаРедагувати

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок   коренів многочленів.

При   група перестановок   не є розв'язною.

Доведення теоремиРедагувати

Нехай

  — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел  ,
  — трансцендентне над розширенням  , і так далі до
  — трансцендентне над  .

Позначимо   тоді:

 

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що   є симетричною функцією відносно   оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

 
 

і так далі до

 

Кожна перестановка   групи   означає автоморфізм   на   що залишає   нерухомим та переставляє   Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже   також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

 

Єдиним розкладом   є

  (де   — альтернативна група).

Факторгрупа   (ізоморфна самій  ) не є абелевою групою, тому   не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівняньРедагувати

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати