Відкрити головне меню

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах. Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає корені многочлена п'ятого чи вищого степеня.

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів. Хоча над іншими полями цих коренів може і не існувати.

Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Зміст

ІсторіяРедагувати

 
Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті. Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія ГалуаРедагувати

Група Галуа описує групи перестановок   коренів многочленів.

При   група перестановок   не є розв'язною.

Доведення теоремиРедагувати

Нехай   — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел  , та   — трансцендентне над  , і так далі до   що трансцендентне над  .

Позначимо   тоді:

 

Відкривши дужки, отримаємо що   є симетричною функцією відносно   оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

 
 

і так далі до

 

Кожна перестановка   групи   означає автоморфізм   на   що залишає   нерухомим та переставляє   Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже   також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

 

Єдиним розкладом   є

  (де   — альтернативна група).

Факторгрупа   (ізоморфна самій  ) не є абелевою групою, тому   не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівняньРедагувати

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати