Рівняння Ейнштейна: відмінності між версіями

При переході до загальної теорії відносності ми повинні замінити густину маси <math>\rho</math> релятивістськи-інваріантною величиною. Такою величиною, до того ж приблизно пропорційною густині <math>\rho</math>, є [[тензор енергії-імпульсу]] <math>T_{ij}</math>. Оскільки маси нерухомі, то потоку енергії немає, і недіагональні елементи тезора <math>T_{ij}</math> дорівнюють нулю. Також ми можемо знехтувати напруженнями всередині фізичного тіла у порівнянні з дуже великою щільністю енергії спокою <math>W = \rho c^2</math>. Таким чином, в нашому випадку в тензорі енергії-імпульса відмінна від нуля лише одна часова компонента:

Цей тензор стоятиме (з деяким коефіцієнтом пропорційності) в правій частині шуканого рівняння - він породжує гравітацію. А що ми повинні написати в лівій частині, тобто що таке гравітація? Відповідь дав Ейнштейн, сформулювавши [[принцип еквівалентності]] - це викривлення чотиривимірного простору-часу. Сила тяжіння обчислюється по тій самій формулі, що і сили інерції в неінерційних системах координат:

Константу інтегрування ми можемо знайти, знаючи що на нескінченності (великій відстані від тяжіючих тіл) нульова компонента метричного тензора дорівнює одиниці, а потенціал перетворюється в нуль згідно формули (3). Отже:

Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другі похідні метричного тензора <math>g_{ij}</math> і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використати частинні похідні <math>\partial^2 g_{ij} \over \partial x^k \partial x^l</math> самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не по тензорним правилам). Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки [[Диференціальна геометрія|відомо]], що коваріантна похідна метричного тензора <math>\nabla_k g_{ij}</math> тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривини ([[тензор Рімана]]):

Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартової систему координат. В ній символи Крістофеля будуть близькими до нуля, тому відкинувши (два останні) квадратичні доданки в формулі (13) ми в правій частині матимемо суму других похідних від метричного тензора. В цій сумі також будуть приситні другі похідні від <math>g_{00}</math>, тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).

Тензор Рімана <math>R_{pijk}</math> має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу <math>T_{ij}</math> з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму дугих похідних від гравітаційного потенціалу <math>\phi</math> (так що залишається надія одержати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Однократна згортка тензора <math>R^s_{\; ijk}</math> по індексах <math>(sj)</math> дає тензор Річчі R_{ik}:

Цей тензор симетричний і має два індекса, як і в тензора енергії-імпульса <math>T_{ij}</math>. Але окрім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор <math>g_{ij}</math> на скалярну кривину <math>R</math>, яка є згорткою тензора Річчі:

де коефіцієнти <math>(\alpha, \beta, k)</math> є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:

: <math>(17) \qquad \nabla^j T_{ij} = 0</math>

Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби [[тензор Рімана]] був зовсім довільним, то добитися нульової дивергенції ми не змогли б ні при яких ненульових константах <math>(\alpha, \beta)</math>. Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов'язані [[Диференціальна тотожність Біанкі|диференціальною тотожністю Біанкі]]:

Нам залишилось знайти константу <math>k</math>. Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом лапласіану гравітаційного потенціалу <math>\nabla^2 \phi</math> і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки окрім часової компоненти <math>g_{00}</math> метричного тензора (формула 11), решта компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті ''[[Слабке гравітаційне поле]]''.

Тоді при варіації цього узагальненого лагранжиана ми одержимо ''[[Узагальнений тензор Ейнштейна]]''. Він наслідує основні властивості тензора Ейнштейна (формула 25) другого степеня: симетричний, релятивістськи інваріантний, нульова дивергенція. Єдина умова на поправки в формулі (32): вони мають бути малими в масштабах ближнього космосу (тобто Сонячної системи), щоб виконувався закон тяжіння Ньютона. Але в інших масштабах вони можуть проявитися. Зокрема члени з <math>\Lambda, \; a_1</math> при великих масштабах - вселенських і галактичних. Квадратичні члени з <math>a_2, \; a_3</math> можуть проявитися в малих, зокрема мікроскопічних масштабах. Докладніше це описано в статті [[Поправки до рівняння Ейнштейна]].

== Розв'язки ==

[[nl:Einstein-vergelijkingenvergelijking]]