Нерівність Маркова: відмінності між версіями

:<math>\textrm{PrP}(|X-\textrm{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.</math>

:<math>\operatorname{E}(X)=\int_0^a xf(x) \, dx + \int_a^\infty xf(x) \, dx \ge \int_a^\infty xf(x) \, dx \ge\int_a^\infty af(x) \, dx = a\int_a^\infty f(x) \, dx= a \operatorname{PrP}(X \ge a)</math>

:<math>\Properatorname{P}(X \ge a) \le \operatorname{E}(X)/a</math>

Хай <math>X \geqslant 0</math>&nbsp;— невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши <math>a = 2 \mathbboperatorname{E}(X)</math>, отримаємо

: <math>\mathbboperatorname{P}(X \geqslant 2 \mathbboperatorname{E}(X)) \leqslant \frac{1}{2}</math>.