Нерівність Маркова

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ з мірою $\displaystyle \mu$ заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu .$

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина $X:\Omega \to \mathbb {R}$ визначена на ймовірносному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

$\mathbb {P} \left(|X|\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} |X|}{a}}$,

де $a>0$.

якщо розглянути випадкову величину $\displaystyle X-{\textrm {E}}(X)$, то отримаємо нерівність Чебишева:

${\textrm {P}}(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.$

Доведення

Мовою теорії ймовірності

З означення сподівання:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$

Однак, X невід'ємна випадкова змінна тому,

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx$

З цього отримуємо,

$\operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {P} (X\geq a)$

Тепер легко видно, що

$\operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a$

Мовою теорії міри

Припустимо, що функція $f$ невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію $s$ на $X$ задану через

$s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&f(x)\geq \varepsilon \\0,&f(x)<\varepsilon \end{cases}}$

Тоді $0\leq s(x)\leq f(x)$. Згідно з визначенням інтеграла Лебега

$\int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})$

і, з того, що $\varepsilon >0$, обидві сторони можна поділити на $\varepsilon$, отримуючи

$\mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}f\,d\mu .$

Приклад

Хай $X\geqslant 0$ — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши $a=2\operatorname {E} (X)$, отримаємо

$\operatorname {P} (X\geqslant 2\operatorname {E} (X))\leqslant {\frac {1}{2}}$.

Див. також

• Нерівність Чебишова
• Марков Андрій Андрійович

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)