Лінеаризація: відмінності між версіями

Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де <math>\boldmathbf{F}(\boldmathbf{x},t) = 0.</math> Лінеаризація функції це доданок першого порядку з [[Ряд Тейлора|ряду Тейлора]] біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням

:<math>\frac{d\boldmathbf{x}}{dt} = \boldmathbf{F}(\boldmathbf{x},t)</math>,

:<math>\frac{d\boldmathbf{x}}{dt} = \boldmathbf{F}(\boldmathbf{x_0},t) + D\boldmathbf{F}(\boldmathbf{x_0},t) \cdot (\boldmathbf{x} - \boldmathbf{x_0})</math>

де <math>\boldmathbf{x_0}</math> це цікава нам точка і <math>D\boldmathbf{F}(\boldmathbf{x_0})</math> це [[Матриця Якобі|якобіан]] <math>\boldmathbf{F}(\boldmathbf{x})</math> evaluated at <math>\boldmathbf{x_0}</math>.

Якщо точка <math>\boldmathbf{x_0}</math> &nbsp; критична, то рівняння набуває вигляду

:<math>\frac{d\boldmathbf{x}}{dt} = \boldmathbf{J}_F(\boldmathbf{x_0},t) \cdot (\boldmathbf{x} - \boldmathbf{x_0})</math>