Симплекс: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Kirsim (обговорення | внесок) м вікіфікація |
|||
Рядок 1:
'''Симплекс''' або '''''n''-вимірний тетраедр''' (від {{lang-la|simplex}}
== Побудова ==
Рядок 19:
== Кількість граней симплекса ==
Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.
Оскільки всі вершини симплексу сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка [[підмножина]] його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплексу визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплексу число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.
Позначимо символом K(L, n) число L-вимірних граней в n-багатограннику, тоді для n-симплексу
: <math>~K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},</math>
де <math>~C^m_n</math>
Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:
: <math>~K(0,n) = K(n-1,n)= n+1.</math>
== Стандартний симплекс ==
[[Файл:2D-simplex.svg|right|200px|thumb|Зелений трикутник
'''Стандартний ''n''-симплекс''' ця підмножина <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, що визначається як:
: <math>\Delta^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}</math>
Його вершинами є точки:
: e<sub>0</sub>=(1, 0 . 0): e<sub>1</sub>=(0, 1 . 0)
: .
: e<sub>n</sub>=(0, 0 . 1)
Рядок 51 ⟶ 50:
Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:
: <math>\begin{align}
s_0 &= 0\\
s_1 &= s_0 + t_0 = t_0\\
Рядок 64 ⟶ 63:
Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:
: <math>\Delta_*^n = \left\{(s_1,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n\mid 0 = s_0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_n \leq s_{n+1} = 1 \right\}.</math>
== Геометричні властивості ==
Рядок 81 ⟶ 80:
1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}</math>
де <math>d_{ij}=|v_i - v_j|</math>
Об'єм правильного ''n''-симплекса з одиничною стороною рівний <math>\frac{\sqrt{n+1}}{n!\, 2^{n/2}}</math>
Рядок 96 ⟶ 95:
Еквівалентно такий симплекс існує, якщо і тільки якщо [[квадратна матриця]] ''A'' розмірності ''n'' елементи якої визначаються:
: <math>a_{ij} = \begin{cases} d_{0i}^2, & i = j \\ \frac{d_{0i}^2 + d_{0j}^2 + d_{ij}^2}{2}, & i \neq j \end{cases}</math>
є [[додатноозначена матриця|додатноозначеною]]. Дана матриця є [[визначник Грама|матрицею Грама]] для векторів <math> v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0.</math>
Рядок 153 ⟶ 152:
== Література ==
* Александров П. С., Комбинаторная топология, М.
* Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М.
== Посилання ==
| |||