Рівняння Слуцького

Рівняння Слуцького (англ. Slutsky equation) — рівняння, сенс якого полягає в тому, що зміна попиту на певний товар при підвищенні або зниженні його ціни складається з впливу зміни попиту і непрямого впливу попиту на інші товари. Рівняння показує, що зміна в попиті на i-й товар при зміні ціни j-го товару є результатом двох ефектів: еффекту заміщення і ефекту доходу.

Математичний вигляд рівняння ред.

x_{i}(p,{\bar {u}})=x_{i}(p,e(p,{\bar {u}})),

{\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial e({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}-x_{j}({\tilde {p}},{\tilde {I}})\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}},

де ${\tilde {p}},{\tilde {I}},{\bar {u}}$ — задані рівні цін, доходу і корисності.

Рівняння Слуцького через еластичність ред.

Якщо помножити вихідне рівняння Слуцького на $p_{j}$ і поділити $x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})$ , то отримаємо рівняння Слуцького в термінах еластичностей попиту за ціною та доходом:

$\varepsilon _{ip_{j}}=\varepsilon _{ip_{j}}^{h}+\varepsilon _{iI}\cdot \alpha _{i}$

де

$\varepsilon _{ip_{j}}$ — еластичність попиту на i-й товар по ціні j-го

$\varepsilon _{ip_{j}}^{h}$ — еластичність компенсованого попиту на i-й товар за ціною j-го (тобто без урахування ефекту доходу)

$\varepsilon _{iI}$ — еластичність попиту на i-й товар за доходом споживача

$\alpha _{i}$ — частка витрат на покупку i-го товару в доході споживача

Матриця Слуцького ред.

Похідні $s_{ij}={\frac {\partial x_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial p_{j}}}+x_{j}(p,I)\cdot {\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial I}}$ можуть бути зведені в матрицю Слуцького коефіцієнту заміщення S(p, I), що володіє наступними властивостями: