Розв'язки Йоста — розв'язки одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом, що спадає до нуля на нескінченності, у випадку неперервного спектру енергій. Часто використовується в задачах на розсіяння, а також в теорії солітонів (метод оберненої задачі).

Математичне означенняРедагувати

В одновимірному випадку гамільтоніан має вигляд (при приведенні до безрозмірних змінних):

 

де потенціал   — локально інтегровна функція, визначена на множині дійсних чисел.

В випадку неперервного спектру маємо:

 

де   — власні значення гамільтоніана (енергія),   — власні функції (хвильова функція).

Якщо на потенціал накладені такі умови:

  —   спадає на нескінченності швидше ніж  ;
  —   не має сингулярностей сильніше  ;

тоді для дійсних значень   введемо розв'язки   які задовольняють граничній умові:

 

дані розв'язки названі розв'язками Йоста на честь швейцарського фізика Реса Йоста який перший запропонував їх.

Функції тільки від  , тобто визначені в конкретній точці простору (часто в нулі чи на нескінченності), називають функціями Йоста, хоча багато авторів вживають обидва вирази на позначення  .

Для всіх   (комплексних), з накладеною умовою  , і для  , який задовольняє умови накладені вище, існують розв'язки (і вони єдині) рівняння Шредінгера які задовольняють такі інтегральні рівняння:[1]

 
 

причому дані розв'язки неперервні по   при   і аналітичні при  .

Рівняння для розв'язків Йоста можна отримати безпосередньо з граничних умов і рівняння Шредінгера за допомогою функції Гріна в вигляді:[2]

 

ВикористанняРедагувати

Багато інших задач приводиться до одновимірного рівняння Шредінгера. Зокрема задача розсіяння на центральному потенціалі в трьохвимірному просторі зводиться до такого рівняння для радіальної функції в S-стані[3]:

 .

В такому випадку умови на потенціал відмінні від наведених вище і мають вигляд:

  —   при   не має сингулярності сильніше  ;
  —   спадає на нескінченності швидше ніж  ;

Розв'язок Йоста задовольняє рівняння: :   при цьому:

 .

Функція   теж є розв'язком рівняння, і цей розв'язок є лінійно незалежним від  .

Функція Йоста визначена як  , грає важливу роль в теорії розсіяння, зокрема через неї виражається матриця розсіяння  :

 .

ДжерелаРедагувати

  1. Додд, Р., Эйлбек, Дж., Гиббон, Дж., Моррис, X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М. : Мир, 1988. — 694 с.
  2. Ситенко А. Г. Теория рассеяния. — К. : Вища школа, 1975. — 256 с.
  3. Новокшенов, В. Ю. Введение в теорию солитонов. — Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. — 96 с. — ISBN 5-93972-100-1.

ПриміткиРедагувати

  1. Додд і інші, 1988, с. 125—127.
  2. Новокшенов, 2002, с. 42—43.
  3. Ситенко, 1988, с. 88—93.