Відкрити головне меню

Підстановка Абеля була запропонована Н.Г. Абелем для обчислення значень інтегралів типу:

де є цілим додатнім числом, , а змінна задається виразом (1) (див Розв'язок).

Зміст

Розв'язокРедагувати

Підстановка Абеля пов'язана з похідною від виразу   так

           (1)

де враховано, що похідна  .

Коли піднести поданий вираз до квадрата та помножити на   матимемо, що

 

Далі, віднявши цей вираз від добутку   отримаємо в результаті

 

Звідки   визначається як

 

й відповідно

           (2)

З виразу (1) також можна отримати наступну рівність

 

продиференціювавши яку, з врахуванням що   (див. вираз (1)), знаходимо

 

Відповідно, після рознесення виразів з   та з   по різні боки цього рівняння, матимемо

           (3)

Далі, поділивши попарно ліву та праву частини виразу (3) відповідно на ліву та праву частини виразу (2) знаходимо що

 

Тому використовуючи підстановку Абеля початковий інтеграл можна записати у вигляді:

 

де можна легко провести інтегрування по змінній   для цілих додатніх значень   й після інтегрування просто підставити в кінцевий результат значення змінної   (див. вираз (1)).

ПрикладиРедагувати

Для випадку   матимемо:

 

Для випадку   матимемо:

 

куди потім можна підставити явне значення для   (див. вираз (1)) й спростити результат.

Для випадку   матимемо:

 

й так далі.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення», Т II, Москва 1966.