Підстановка Абеля пов'язана з похідною від виразу
Y
{\displaystyle Y\!}
так
t
=
(
Y
)
′
=
Y
′
2
Y
=
a
x
+
b
2
a
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle t=({\sqrt {Y}})'={Y' \over 2{\sqrt {Y}}}={ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}},}
(1)
де враховано, що похідна
Y
′
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle Y'=2ax+b\!}
.
Коли піднести поданий вираз до квадрата та помножити на
4
Y
{\displaystyle 4Y\!}
матимемо, що
4
t
2
Y
=
(
Y
′
)
2
=
Y
′
2
Y
=
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
.
{\displaystyle 4t^{2}Y=(Y')^{2}={Y' \over 2{\sqrt {Y}}}=4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}.}
Далі, віднявши цей вираз від добутку
4
a
Y
=
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
4
a
c
{\displaystyle 4aY=4a^{2}x^{2}+4abx+4ac\!}
отримаємо в результаті
4
a
Y
−
4
t
2
Y
=
4
Y
(
a
−
t
2
)
=
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
4
a
c
−
(
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
)
=
4
a
c
−
b
2
.
{\displaystyle 4aY-4t^{2}Y=4Y(a-t^{2})=4a^{2}x^{2}+4abx+4ac-(4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2})=4ac-b^{2}.\!}
Звідки
Y
{\displaystyle Y\!}
визначається як
Y
=
4
a
c
−
b
2
4
1
a
−
t
2
{\displaystyle Y={4ac-b^{2} \over 4}{1 \over a-t^{2}}}
й відповідно
Y
m
=
(
4
a
c
−
b
2
4
)
m
1
(
a
−
t
2
)
m
.
{\displaystyle Y^{m}=\left({4ac-b^{2} \over 4}\right)^{m}{1 \over (a-t^{2})^{m}}.}
(2)
З виразу (1) також можна отримати наступну рівність
t
Y
=
a
x
+
b
2
,
{\displaystyle t{\sqrt {Y}}=ax+{\frac {b}{2}},}
продиференціювавши яку, з врахуванням що
d
(
Y
)
=
t
d
x
{\displaystyle d({\sqrt {Y}})=tdx\!}
(див. вираз (1)), знаходимо
(
t
Y
)
′
=
d
t
Y
+
t
d
(
Y
)
=
d
t
Y
+
t
2
d
x
=
a
d
x
.
{\displaystyle (t{\sqrt {Y}})'=dt{\sqrt {Y}}+td({\sqrt {Y}})=dt{\sqrt {Y}}+t^{2}dx=adx.}
Відповідно, після рознесення виразів з
t
{\displaystyle t\!}
та з
x
{\displaystyle x\!}
по різні боки цього рівняння, матимемо
d
x
Y
=
d
t
(
a
−
t
2
)
.
{\displaystyle {dx \over {\sqrt {Y}}}={dt \over (a-t^{2})}.}
(3)
Далі, поділивши попарно ліву та праву частини виразу (3) відповідно на ліву та праву частини виразу (2) знаходимо що
d
x
Y
1
Y
m
=
d
x
Y
2
m
+
1
2
=
d
t
(
a
−
t
2
)
(
4
4
a
c
−
b
2
)
m
(
a
−
t
2
)
m
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
m
(
a
−
t
2
)
m
−
1
d
t
.
{\displaystyle {dx \over {\sqrt {Y}}}{1 \over Y^{m}}={dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}={dt \over (a-t^{2})}\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m-1}dt.}
Тому використовуючи підстановку Абеля початковий інтеграл можна записати у вигляді:
∫
d
x
Y
2
m
+
1
2
=
∫
(
4
4
a
c
−
b
2
)
m
(
a
−
t
2
)
m
−
1
d
t
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
m
∫
(
a
−
t
2
)
m
−
1
d
t
{\displaystyle \int {dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}=\int \left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m-1}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}\int (a-t^{2})^{m-1}dt}
де можна легко провести інтегрування по змінній
t
{\displaystyle t\!}
для цілих додатних значень
m
{\displaystyle m\!}
й після інтегрування просто підставити в кінцевий результат значення змінної
t
{\displaystyle t\!}
(див. вираз (1)).
Для випадку
m
=
1
{\displaystyle m=1\!}
матимемо:
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
3
2
=
4
4
a
c
−
b
2
∫
d
t
=
4
t
4
a
c
−
b
2
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
a
x
+
b
2
a
x
2
+
b
x
+
c
.
{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {3}{2}}}={4 \over 4ac-b^{2}}\int dt={4t \over {4ac-b^{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)\;\;{ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.}
Для випадку
m
=
2
{\displaystyle m=2\!}
матимемо:
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
5
2
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
2
∫
(
a
−
t
2
)
d
t
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
2
(
a
t
−
t
3
3
)
,
{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {5}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\int (a-t^{2})dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\left(at-{\frac {t^{3}}{3}}\right),}
куди потім можна підставити явне значення для
t
{\displaystyle t\!}
(див. вираз (1)) й спростити результат.
Для випадку
m
=
3
{\displaystyle m=3\!}
матимемо:
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
7
2
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
3
∫
(
a
−
t
2
)
2
d
t
=
(
4
4
a
c
−
b
2
)
3
(
a
2
t
−
2
a
3
t
3
+
t
5
5
)
{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {7}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\int (a-t^{2})^{2}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\left(a^{2}t-{\frac {2a}{3}}t^{3}+{\frac {t^{5}}{5}}\right)}
й так далі.
Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення», Т II, Москва 1966.