Позіном

Позіном — це розширене поняття полінома, як суми мономів, за допомогою розширення поняття моном. З властивостей таких узагальнених мономів випливає обмеження області визначення функції, що задається позіномом, на строго додатні значення.

Визначення

Позіном — узагальнений поліном виду:

$g(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}\prod \limits _{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad x_{j}>0,\ c_{i}>0,\ a_{ij}\in \mathbb {R} .$ ,

де $u_{i}(x),\ i={\overline {1,n}}$ — мономи.

Наприклад

$g(x)=0.25x^{4}+x^{-1.5}+2x^{9}.$

Властивості

• якщо $g(x)$ — позіном, $\lambda >0$ — константа, то $\lambda g(x)$ — позіном,
• якщо $f(x),g(x)$ — позіноми, то $f(x)+g(x)$ — також позіном,
• якщо $f(x),g(x)$ — позіноми, то $f(x)g(x)$ — також позіном.

Таким чином, безліч позіномов є, як і безліч поліномів, кільцем.

Оскільки мономи — окремий випадок позіномів, безліч позіномів є, також, алгеброю над кільцем поліномів.

• якщо $g(x)$ — позіном, $u(x)$ — моном, то $g(x)/u(x)$ — позіном,
• якщо $g(x)$ — позіном, то ${g(x)}^{k}\ (k>0,$ ціле$)$ — позіном.

Додатки

Позіноми є базовим поняттям в геометричному програмуванні. За допомогою позіномів описуються і вирішуються завдання з широкого кола математичних проблем, зокрема до нього належать: оптимальне планування, оптимальне управління, економічні завдання і розрахунок ризиків, кодування та інші.