Періодичний стан

Періодичний стан — це такий стан ланцюга Маркова, який ланцюг відвідує тільки через проміжки часу, кратні фіксованому числу.

Період стану

Нехай дано однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ з матрицею перехідних ймовірностей $P$. Зокрема, для будь-якого $n\in \mathbb {N}$, матриця $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ є матрицею перехідних ймовірностей $n$ кроків. Розглянемо послідовність $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$. Число

$d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)$,

де $\gcd$ позначає найбільший спільний дільник, називається періодом стану $j$.

Зауваження

Таким чином, період стану $j$ дорівнює $d(j)$, якщо з того, що $p_{jj}^{(n)}>0$ випливає, що $n$ ділиться на $d(j)$.

Періодичні стани і ланцюги

• Якщо $d(j)>1$, то стан $j$ називається періодичним. Якщо $d(j)=1$, то стан $j$ називається аперіодичним.

• Періоди сполучених станів збігаються::

$(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))$.

Таким чином, період будь-якого нерозкладного класу ланцюга Маркова визначений і дорівнює періоду будь-якого свого представника. Відповідно, класи поділяються на періодичні та аперіодичні.

• Якщо ланцюг Маркова нерозкладний, то періоди всіх його станів збігаються і спільне значення, якого вони набувають, називається періодом ланцюга. Ланцюг називається періодичним, якщо його період більше одиниці, і аперіодичним у протилежному випадку.

Див. також

• Періодична послідовність