Ортогональне перетворення

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

В лінійній алгебрі, ортогональне перетворення це лінійне перетворення T : V → V в дійсному просторі із визначеним внутрішнім добутком V, при якому зберігається внутрішній добуток. Тобто, для кожної пари u, v елементів V, маємо[1]

Оскільки довжина векторів і кутів між ними визначається через внутрішній скалярний добуток, ортогональне перетворення зберігає довжину векторів і кути між ними. Зокрема, ортогональні перетворення відображають ортонормовані базиси в ортонормовані базиси.

В дво- або тривимірному Евклідовому просторі ортогональні перетворення це жорсткі обертання, дзеркальні відбиття, або комбінації обертання і відбиття(також відоме як неправильне обертання[en]). Відбиття це такі перетворення, які змінюють ліво на право, аналогічно як відзеркалення зображення. Матриці, які визначають правильне обертання (без дзеркального відбиття) мають детермінант +1. Перетворення із відбиттям задаються матрицями із детермінантом −1. Це дозволяє концепцію обертання і відбиття узагальнити для просторів з більшою розмірністю.

У просторах з скінченним виміром, матричне представлення (відповідно до ортонормованого базису) ортогонального перетворення є ортогональною матрицею. Її рядки є взаємно ортогональними векторами з одиничною нормою, так що рядки утворюють ортогональний базис V. Стовпці матриці є іншим ортогональним базисом V.

Інверсія ортогонального перетворення є іншим ортогональним перетворенням. Матричне представлення якого є транспонованою матрицею, що представляє ортогональне перетворення.

Приклади

ред.

Розглянемо простір внутрішнього добутку   із стандартним евклідовим внутрішнім добутком і стандартним базисом. Тоді, матричне перетворення

 

є ортогональним. Аби пояснити це, розглянемо

 

Тоді,

 

Наведений приклад можна узагальнити для побудови всіх ортогональних перетворень. Наприклад, наступні матриці визначають ортогональне перетворення для  :

 

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Rowland, Todd. Orthogonal Transformation. MathWorld. Архів оригіналу за 9 квітня 2012. Процитовано 4 травня 2012.

Джерела

ред.