Формулювання теореми
ред.
Нехай виконується нерівність:
e
x
⋅
f
(
e
x
)
f
(
x
)
⩽
λ
.
{\displaystyle {\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .}
Домножимо обидві частини нерівності на
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
і проінтегруємо використовуючи підстановку
∫
e
x
0
e
x
f
(
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
f
(
e
u
)
⋅
e
u
d
u
⩽
λ
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,}
звідси
(
1
−
λ
)
∫
e
x
0
e
x
f
(
t
)
d
t
⩽
λ
(
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
e
x
0
e
x
f
(
t
)
d
t
)
⩽
λ
(
∫
x
0
e
x
0
f
(
t
)
d
t
−
∫
x
e
x
f
(
t
)
d
t
)
⩽
λ
∫
x
0
e
x
0
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle (1-\lambda )\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt,}
так як
e
x
>
x
{\displaystyle e^{x}>x}
, зменшуване в останніх дужках є додатнім. Тому розділивши нерівність на
∫
e
x
0
e
x
f
(
t
)
d
t
⩽
λ
(
1
−
λ
)
∫
x
0
e
x
0
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt.}
Додамо до обох частин інтеграл
∫
x
0
e
x
0
f
(
t
)
d
t
,
{\textstyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}\,f(t)dt,}
отримаємо
∫
x
0
e
x
f
(
t
)
d
t
⩽
1
(
1
−
λ
)
∫
x
0
e
x
0
f
(
t
)
d
t
=
L
.
{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=L.}
Враховуючи, що
e
x
>
x
{\displaystyle e^{x}>x}
, при
x
≥
x
0
{\displaystyle x\geq x_{0}}
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
⩽
L
.
{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.}
Оскільки зі зростанням
x
{\displaystyle x}
інтеграл зростає, то існує для нього кінцева границя при
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
:
∫
x
0
∞
f
(
t
)
d
t
⩽
L
.
{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.}
Так як цей інтеграл є збіжним, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}
також збігається.
Нехай тепер має місце нерівність:
e
x
⋅
f
(
e
x
)
f
(
x
)
⩾
1.
{\displaystyle {\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.}
Домножимо обидві частини цієї нерівності
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
проінтегруємо, використовуємо в лівій частині підстановку:
t
=
e
u
{\displaystyle t=e^{u}}
, отримаємо:
∫
e
x
0
e
x
f
(
t
)
d
t
⩾
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt.}
Додамо до обох частин інтеграл
∫
x
e
x
0
f
(
t
)
d
t
:
{\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt:}
∫
x
e
x
f
(
t
)
d
t
⩾
∫
x
0
e
x
0
f
(
t
)
d
t
=
γ
.
{\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=\gamma .}
Оскільки
x
0
<
e
x
0
{\displaystyle x_{0}<e^{x_{0}}}
, то
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
. Визначимо послідовність
x
i
{\displaystyle x_{i}}
наступним чином:
x
i
=
e
x
i
−
1
,
i
=
0
,
1
,
…
,
n
,
…
{\displaystyle x_{i}=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots }
Використовуючи цю послідовність останню нерівність можна записати у вигляді:
∫
x
i
−
1
x
i
f
(
t
)
d
t
⩾
γ
.
{\displaystyle \int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .}
Сумуємо інтеграл за принципом
i
=
0
,
1
,
…
,
n
:
{\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots ,\;n:}
∫
x
0
x
n
f
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
∫
x
i
−
1
x
i
f
(
t
)
d
t
⩾
n
γ
,
{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,}
тобто цей інтеграл необмежений при
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
. Тому:
∫
x
0
∞
f
(
t
)
d
t
=
lim
x
→
∞
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
=
+
∞
.
{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt=+\infty .}
Оскільки цей інтеграл розбіжний, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}
є розбіжним.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М. : Наука, 1970.
.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.