Нерівність Мюрхеда

Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.

Означення

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc.$

Доведення

перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:

$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc\geq 0,$

виділимо повні квадрати:

$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}\geq 0.$

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Джерела

• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)