Мажорування векторів

Мажорування — відношенням між двома векторами дійсних чисел в математиці.

Означення

Нехай є два вектори $X=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ та $Y=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}$, де $x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant \ldots \geqslant x_{n}$, $y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant \ldots \geqslant y_{n}$ і $\mathbf {X} ,\ \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}$

Тоді якщо

$\sum _{i=1}^{k}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}$ для всіх $k=1,\,\dots ,\,n-1$ і $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}$

говорять, що вектор $\mathbf {X}$ мажорує вектор $\mathbf {Y}$.

Тобто, виконується n—1 нерівність та одна рівність:

${\begin{aligned}x_{1}&\geq y_{1}\\x_{1}+x_{2}&\geq y_{1}+y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&\geq y_{1}+y_{2}+y_{3}\\&\,\,\,\vdots \\x_{1}+\cdots +x_{n-1}&\geq y_{1}+\cdots +y_{n-1}\\x_{1}+\cdots +x_{n}&=y_{1}+\cdots +y_{n}\end{aligned}}$

Якщо останню умову змінити на нерівність $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{n}y_{i}$, то кажуть, що вектор $\mathbf {X}$ слабко мажорує вектор $\mathbf {Y}$.