Нерівність Мюрхеда

Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.

Означення

Якщо вектор дійсних чисел $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ мажорує вектор дійсних чисел $b=(b_{1},\dots ,b_{n})$ тоді виконується нерівність для многочленів

$\sum _{\text{sym}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\geq \sum _{\text{sym}}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}$,

для будь яких невідʼємних $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$.

Симетрична сума

В означенні використовується спеціальна нотація для сум одночленів зі степенями $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$

$\sum _{\text{sym}}x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{\alpha _{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{\alpha _{n}},$

Сума береться по всіх перестановках $\sigma$ з елементів { 1, …, n }.

Для випадку $n=3$ треба знайти всі перестановки трьох змінних, тобто сума складається з $3!=6$ додатків:

${\begin{aligned}\sum _{\text{sym}}x^{3}y^{2}z^{0}&=x^{3}y^{2}z^{0}+x^{3}z^{2}y^{0}+y^{3}x^{2}z^{0}+y^{3}z^{2}x^{0}+z^{3}x^{2}y^{0}+z^{3}y^{2}x^{0}\\&=x^{3}y^{2}+x^{3}z^{2}+y^{3}x^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}+z^{3}y^{2}\end{aligned}}$

Приклад 1

З нерівності Мюрхеда випливає нерівність середнього арифметичного та геометричного якщо застосувати її з векторами $a=(1,0,\dots ,0)$ та $b=\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)$. Очевидно, що a мажорує b ($a\succ b$)

$\sum _{\text{sym}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=\sum _{\text{i=1,n}}x_{i}\geq \sum _{\text{sym}}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}=n{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dots x_{n}}}$

Приклад 2

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc.$

Це часний випадок нерівності Мюрхеда степені 2 з векторами $a=(2,0)$ та $b=(1,1)$

Доведення

перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:

$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc\geq 0,$

виділимо повні квадрати:

$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}\geq 0.$

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Джерела

• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
• З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 209 c.